Question

谁能告诉我一下函数奇偶性的问题怎么做啊？最好举例！简单的难的都要几个加详解！谢了！

Answer 1

判断函数的奇偶性的步骤是：第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称，则函数必是非奇非偶函数；第二步，若函数的定义域是失于原点对称，则再根据奇、偶函数的定义和性质等来判断函数的奇偶性。
函数的奇偶性的判断方法主要有以下几种：
1、直接判断法：包括判断定义域和利用奇、偶函数的定义来判断。
1) 如果定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数。
例：判断函数f(x)=3x(x∈(0,+∞))的奇偶性。
分析：因为f(x)的定义域是(0,+∞)不关于原点对称，所以此函数是非奇非偶函数。
2) 如果定义域关于原点对称的条件成立，则再直接验证是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，从而判断函数的奇偶性。
例：判断函数f(x)=x-1的奇偶性。
分析：因为f(x)=x-1的定义域是R，关于原点对称，且f(-x)=-x+1≠f(x)，f(-x)≠-f(x)。所以，它既不是奇函数也不是偶函数。
2、间接判断法：
1) 间接利用定义判断：奇、偶函数的定义表明，在定义域关于原点对称的条件下，若⑴f(x)+f(-x)=0或f(x)-f(-x)=2f(x)，则f(x)是奇函数；⑵f(x)+f(-x)=2f(x)或f(x)-f(-x)=0，则f(x)是偶函数⑶f(x)×f(-x)=-f2(x)或f(x)/f(-x)=-1，则f(x)是奇函数，⑷f(x)×f(-x)=f^2(x)或f(x)/f(-x)=1是偶函数。
2) 利用奇函数的几何性质判断：如果一个函数A的图象关于原点成中心对称图形，那么f(x)必是奇函数；如果一个函数f(x)的图象关于y轴成轴对称图形，那么f(x)必是偶函数；如果一个函数f(x)的图象既不关于原点成中心对称又不关于y轴对称，那么函数f(x)是非奇非偶函数。
3) 利用部偶函数的代数性质判断：把一个函数式分解成几个有公共定义域且可判断奇偶性的函数的和、差、积、商，再利用“和、差、积、商”的奇偶性进行判断。
例：判断函数F(x)=sinx+cosx的奇偶性。
分析：令f(x)=sinx,g(x)=cosx.
因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，f(x)+g(x)是非奇非偶函数,所以F(x) 是非奇非偶函数。
又例如：判断函数F(x)=sinx×cosx的奇偶性。
分析：令f(x)=sinx，g(x)=cosx.
因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)×g(x)是奇函数。所以F(x)是奇函数。
函数奇偶性的应用：
1、有利于画出整个定义域中的图象。
2、有利于判断函数的单调性（或比较函数值的大小）。
例：已知f(x)是奇函数，且f(-5)=4,f(π)= -1,比较f(5)与f(π)的大小。
分析：由f(x)是奇函数得：f(5)= -f(-5)= -4,f(-π)=-f(π)=1所以 f(5)<f(-π).