Question

求证:当a>1时,根号a+1+根号a-1<2根号a. 在线等~

Answer 1

证明：由题意知：a≥1,
∵a＋1＞a－1＞0
∴√（a＋1）＞√（a－1）
√（a＋1）＋√a＞√（a－1）＋√a
1/[√（a＋1）＋√a]＜1/[√a＋√（a－1）]
则有：√（a＋1）－√a＜√a＋√（a－1）
移项得：√（a＋1）＋√（a－1）＜2√a
证毕！

Answer 2

设f(x)=√x+1-√x
则f'(x)=1/[2√(x+1)]-1/(2√x)
因为√(x+1）大于√x，所以f'(x）小于0
所以此函数为减函数，所以f(a)<f(a-1)
即√a+1-√a<√a-√a-1
整理得√a+1+√a-1<2√a
证明完毕