Question

一道高一的函数问题，请教！

设a＞0，a≠1，函数f(x)=loga(x²－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)＞0的结集为▁▁▁▁▁▁▁
求答案和解题过程！

Answer 1

因为函数y=x²－2x＋3有最小值
要使f(x)=loga(x²－2x＋3)，
那么a>1

loga(x－1)＞0
即loga(x-1)>loga1
由a>1可得: x>2

追问

关于后面的x﹥2我已经清楚了，但是前面的为什么a﹥1我没怎么看懂，能详细的解释一下吗？

追答

x²－2x＋3的值域是y>=2的
如果a<1的话f(x)=loga(x²－2x＋3)是个单调递减的函数，这个函数将随x²－2x＋3的增大而一直减小，不会存在最小值了。

（附：如果f(x)=loga( －x²－2x＋3)有最小值的话a<1，这个你慢慢考虑考虑下吧）

Answer 2

x²－2x＋3=(x＋1)²＋2>=2
因为函数f(x)=loga(x²－2x＋3)有最小值
而在x∈[2,+∞）时，logax有最小值的话，a应该是大于1的
所以函数f(x)=loga(x²－2x＋3)的a也是大于1的。
所以不等式loga(x－1)＞0的解集是（1，+∞）

Answer 3

设a＞0，a≠1，函数f(x)=loga(x²－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)＞0的结集为▁▁▁▁▁▁▁
解析：∵函数f(x)=log(a,x^2-2x+3) （a>0,a≠1）有最小值
F’(x)=(2x-2)/[(x^2-2x+3)lna]=0==>x=1
F”(x)=2lna[(x^2-2x+3)-2(x-1)^2]/[(x^2-2x+3)lna]^2=2(-x^2+2x+1)/ [(x^2-2x+3)^2lna]
F”(1)=1/lna>0==>a>1
Log(a,x-1)>0==>x-1>1==>x>2
∴不等式loga(x-1)＞0的解集为(2,+∞)

Answer 4

x>2,楼上解答的很详细