Question

已知丨a丨=√2，丨b丨=3，a与b的夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围

Answer 1

ab=|a||b|cos45°=3
则向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时有：
(a+λb)(λa+b)>0
则
λa²+(1+λ²)ab+λb²>0
3λ²+11λ+3>0
λ>(-11+√85)/6，或λ<(-11-√85)/6.

下面还需要去掉共线的情况：
向量a+λb与λa+b共线时，对应的系数比相等，
所以1/λ=1/λ，λ=±1.
λ=1时，同向共线，夹角为0°，不是锐角，应舍去。
λ=-1时，反向共线，夹角为180°.

综上可知：λ>(-11+√85)/6，或λ<(-11-√85)/6，且λ≠1。