Question

已知ABCD是矩形，PD垂直平面ABCD,PD=DC=a，AD=根号2 a，M,N分别是AD,PB中点，求点A到平面MNC的距离。向量

Answer 1

解：如图 

PD=DC=a，所以PC=a*根号2

PD⊥面ABCD，所以PD⊥BC，

所以BC⊥面PDC，

所以BC⊥PC，△PBC是等腰直角△；

N为PB中点，PB⊥CN；

△ DCM和△CBD为直角三角形，

DC/DM=根号2=BC/CD；

△ DCM相似于△CBD；

所以∠CDB=∠DMC，

所以∠CDB+∠DCO=90°=∠COD，

所以CO⊥OD；又CO⊥DP，

所以CO⊥面DPB；所以CO⊥PB

所以PB⊥面MNC

作直线AR‖CM交DB于R，

RQ‖ON交PB于Q；知面MNC‖ARQ；

A到平面MNC的距离就是

Q点到平面MNC的距离，

也即是QN的长度；

CN=BN=a； OD=BR=a/根号3； OR= a/根号3； 所以NQ=a/2

所以A到平面MNC的距离a/2

Answer 2

利用等体积法比用向量法更加优越
作AB交CD于O,连接NO,则ON垂直ABCD
求到S△AMC=a²√2/4,N到平面AMC距离H=PD/2=a/2
对△MNC,MN=a√2/2,MC=a√6/2,NC=a
MN²+NC²=MC²
即S△MNC=a²√2/4
A到平面MNC距离为h
等V:h*S△MNC=H*S△MAC
即h=a/2