Question

已知点D、E、F分别是三角形ABC三边AB、AC、BC的中点，求证（1）向量AB＋向量BF＝向量AC＋向量CF

（2）向量FA＋向量EB＋向量DC＝0

Answer 1

证明：

（1）

根据向量相加的△定理

向量AB＋向量BF＝向量AF

向量AC＋向量CF ＝向量AF

所以：向量AB＋向量BF＝向量AC＋向量CF 

（2）

向量FA=向量FB+向量BA=向量CB/2+向量BA

向量EB=向量EC+向量CB=向量AC/2+向量CB

向量DC＝向量DA+向量AC=向量BA/2+向量AC

向量FA＋向量EB＋向量DC

＝向量CB/2+向量BA+向量AC/2+向量CB+向量BA/2+向量AC

=3(向量CB＋向量BA＋向量AC)/2

根据向量相加的△定理

向量CB＋向量BA=向量AC= -向量CA

所以向量CB＋向量BA＋向量AC=0

所以

向量FA＋向量EB＋向量DC=3*0/2=0

Answer 2

1、向量AB＋向量BF=向量AF
向量AC＋向量CF=向量AF
向量AB＋向量BF=向量AC＋向量CF
2、向量FA=向量AB＋向量BF=向量AB＋0.5向量BC
向量EB=向量BC+向量CE=向量BC+0.5向量CA
向量DC=向量DA+向量AC=0.5向量BA+向量AC
向量FA+向量EB+向量DC=向量AB＋0.5向量BC+向量BC+0.5向量CA+0.5向量BA+向量AC
=(向量AB＋向量AC+向量BC)+0.5(向量BC+向量CA+向量BA)
=0+0=0