Question

设G为三角形ABC的重心，过点G作直线分别交AB、AC于P、Q，已知向量AP＝λ向量AB，

向量AQ＝μ向量AC，求1／λ＋1／μ

Answer 1

要解这个题目，首先要知道，由平面向量基本定理可推出：当向量a和b不共线时，若实数λ和μ满足λ*a＋μ*b=0向量，则λ=μ=0。
此题：
设向量AB、AC分别为a、b，则AP＝λ*a，AQ＝μ*b，
延长AG，交BC于D，则向量AG=向量AD*2/3=（a+b）/3，
所以向量PG=向量AG-向量AP=（1/3-λ）*a+1/3*b，
同理向量QG=向量AG-向量AQ=1/3*a+（1/3--μ）*b，
又因为向量PG与向量QG共线，所以存在实数m使向量PG=m*向量QG，
即（1/3-λ）*a+1/3*b=m/3*a+m（1/3--μ）*b,
所以（1/3-λ-m/3）*a+（1/3-m/3+mμ）*b=向量0，
所以1/3-λ-m/3=0且1/3-m/3+mμ=0，
将前式化成m=1-3λ代入后式化简得：λ＋μ=3λ*μ，
两边同除以λ*μ得：1／λ＋1／μ=3。