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19.(本小题满分12分)(2009天津,文19)如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD＝丛键者CD＝1,
(1)证明PA‖平面BDE;
(2)证明AC⊥平面PBD;
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.
答案:设AC∩BD＝H,连结EH.在△ADC中,因为AD＝CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点.又由题设渗薯,E为PC的中点,故EH‖PA.又EH 平面BDE且PA 平面BDE,所以PA‖平面BDE.
(2)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.又PD∩DB＝D,故AC⊥平面PBD.
(3)解:由AC⊥平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.
由AD⊥CD,AD＝CD＝1, ,可得 , .
在Rt△BHC中, .
所以直线BC与平面PBD所亮山成的角的正切值为 .
(1)证明PA‖平面BDE;
(2)证明AC⊥平面PBD;
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.
答案:设AC∩BD＝H,连结EH.在△ADC中,因为AD＝CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点.又由题设渗薯,E为PC的中点,故EH‖PA.又EH 平面BDE且PA 平面BDE,所以PA‖平面BDE.
(2)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.又PD∩DB＝D,故AC⊥平面PBD.
(3)解:由AC⊥平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.
由AD⊥CD,AD＝CD＝1, ,可得 , .
在Rt△BHC中, .
所以直线BC与平面PBD所亮山成的角的正切值为 .
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