Question

高二数学导数

这题到底是哪三个？为什么？求详解···谢谢···
···别糊弄我啊···不知道你在解些什么···

Answer 1

1是错的，2,3,4是对的。
1.举反例可证，令x1=pi/3,x2=5pi/6，则1不正确；
2.不等式等价于sinx2/x2<sinx1/x1，也就是要证明函数f(x)=sinx/x是减函数，即要证f'(x)<0
f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2=(x-tanx)cosx/x^2
0<x<pi/2时，x<tanx，cosx>0，f'(x)<0
pi/2<x<pi时，x>tanx，cosx<0，f'(x)<0
综上，f'(x)<0，这就证明了2是正确的
3.可以证明对任意x1,x2，有 ｜sinx2-sinx1｜=｜2cos(x1+x2)/2sin(x2-x1)/2｜由于cos绝对值小于1，则上式<2｜sin(x2-x1)/2｜，又由于sinx<x，则上式<｜x2-x1｜
在题设范围内，绝对值符号去掉，不等式依然成立，这就证明了3是正确的。
4.这是凸函数的性质。在题设范围内，sinx是凸函数，4显然成立。

追问

有一个问题···其实我最不明白的是4···4我想化简来证一下···变成证明左边-右边<0
化简玩了得到(sinx1/2 - sinx2/2)(cosx1/2-cosx2/2)<0···因为y=sinx不单调···所以上述式子不一定<0···您能帮我看看有什么不对么···

追答

恩，我不知道你是怎么化简的，我刚才化简试了试
先对sinx1+sinx2利用和差化积的公式，不等式化为sin[(x1+x2)/2]cos[(x1-x2)/2]-sin[(x1+x2)/2]<0
把sin[(x1+x2)/2]提取出来，也就是sin[(x1+x2)/2]{cos[(x1-x2)/2]-1}<0，
而cos<1是显然的，在题设范围内，sin[(x1+x2)/2]是大于0的，这就证明了不等式是成立的。

Answer 2

∵f(x),g(x)分别是定义域上R的奇函数,偶函数∴f(x)·g(x)为奇函数。
∵[f(x)·g(x)]’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)且当
x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，
∴(-∞,0)上，f(x)·g(x)递增，由f(x)·g(x)奇偶性，(0,+∞)上递增。

当g(3)=0时，f(x)·g(x)=0，且g(-3)=g(3)=0,
∴(-∞，-3)上，f(x)·g(x)＜0；
(-3，0)上，f(x)·g(x)＞0；
(0，3)上，f(x)·g(x)＜0
(3，+∞)上，f(x)·g(x)＞0.
∴选D.

按你说的去解，必须把所求的不等式也修改。
2、g(x)/f(x)仍是奇函数。
[g(x)/f(x)]’
=[g'(x)f(x)-g(x)f'(x)]/[f(x)^2]
当x＜0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0
∴[g(x)/f(x)]’＜0，
∴(-∞,0)是f(x)/g(x)的递减区间。
由奇偶性，（0，+∞）上也递减。
而g(3)=0,∴g(-3)=0。
(-∞，-3)上，g(x)/f(x)＞0；
(-3，0)上，g(x)/f(x)＜0；
(0，3)上，g(x)/f(x)＞0；
(3，+∞)上，g(x)/f(x)＜0.
∴g(x)/f(x)＜0时，(-3，0)或(3，+∞)。
选A.

Answer 3

自己动手画一个正弦图，再结合相关数学概念应当能想出来。
第（1）是错的，因为sin(pi/2)=1.0是峰值点，f(x2)-f(x1)有可能小于0。
第（2）是对的，等价于比较(x2/x1)和f(x2)/f(x1)哪一个大。设A点(x1,f(x1))，B点(x2,f(x2))，原点O，做直线OA相交于BC于C点，其中BC垂直于x轴，垂点为D；过A点作x轴的垂线，垂点为E。则x2/x1 = DO/EO = CD/AE > BD/AE，得证。
第（3）是正确的，接上面的内容，做直线AF交于BD于F，则(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = BF/AF，即三角形BAF中，角BAF是小于45deg的，所以BF/AF<1。
第（4）是正确的，因为f(x)是凸函数，线段AB的中点当然小于弧线上对应的点。

补充：由于x2并不一定无限接近于x1，所以不能完全用导数的观念去思考这个题目。供参考。