Question

数学题，有关无限加减法、概率、以及胜算率的问题，比较难，高分求助！！！

猜硬币，猜对奖励所压赌注全部金额，猜错扣除赌注一半，剩余退还。

现有赌注S，每次所压总资金的固定比例X

问：当X是何值时所有赌注增长最快

要求：写明解题思路及具体步骤
可能是题干不严谨
我的意思是假如我有一万，固定比例假设是10%，也就是压了一千，赢了，总资金变成了一万一千，下一次下注就变成了一万一千的10%也就是一千一百，以此类推。

Answer 1

接randalf
假设第N次投注后，猜对n次，猜错m次，此时赌资为F(N)=S(1+x)^n(1-x/2)^m 赌资增长就是求F（N）的导数。（这里假设F可导）
当样本足够大时，可以认为n=m=N/2
f(n) =(1+x)(1-x/2) =-(x-1/2)^2/2+9/8
那么最大值为9/8，当x=1/2
最大值 为（9/8）^(n/2)

Answer 2

压出赌注sx后，剩余s-sx
如果赢，收回赌注sx并另外奖励sx，共2sx；如果输，只能退回一半，sx/2
输赢的概率各50%，所以一次赌局后资产为：
s-sx+50%·2sx+50%·sx/2
=s(1+X/4)
以新的赌资s(1+X/4)再次下赌，循环往复，第n次下赌后的赌资为：
s(1+x/4)^n
赌资增长速率=[s(1+x/4)^n-s(1+x/4)^(n-1)]/s(1+x/4)^(n-1)
=x/4
0<x<=100%，显然，当x=100%时赌资增长最快。

Answer 3

假设第N次投注后，猜对n次，猜错m次，此时赌资为F(N)=S(1+x)^n(1-x/2)^m 赌资增长就是求F（N）的导数。（这里假设F可导）
当样本足够大时，可以认为n=m=N/2 ，代入，求导，化简，再求极值就可以了，懒得算，估计是x=1的时候吧

Answer 4

压出赌注sx后，剩余s-sx
如果赢，收回赌注sx并另外奖励sx，共2sx；如果输，只能退回一半，sx/2
输赢的概率各50%，所以一次赌局后资产为：
s-sx+50%·2sx+50%·sx/2
=s(1+X/4)
以新的赌资s(1+X/4)再次下赌，循环往复，第n次下赌后的赌资为：
s(1+x/4)^n
赌资增长速率=[s(1+x/4)^n-s(1+x/4)^(n-1)]/s(1+x/4)^(n-1)
=x/4

追问

问题是x取何值资金增长的最快而不是资金增长率是多少