一元二次方程应用题应注意什么
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【概念与规律】
1．列一元二次方程解应用题的关键在于恰当地选设未知数并根据题目中的数量关系，找出其中的等量，再用含未知数的等式表示．
2．一元二次方程的应用题的主要类型：
①有关数字问题；②有关面积问题；③有关增长率问题；④其他问题．
3．列一元二次方程解应用题时要注意：
(1)解得的根必须符合实际情况．
(2)列方程寻找等量关系时要明确两类等量关系：一种是明显的等量关系，是通过题目中的关键词语表示出来的；另一种是隐含的等量关系，是由学习过的公式或规律给出的．
【讲解设计】•重点与难点
例1 两数之差为2，积为143，求这两个数．
分析 由于两数之差为2，设其中较小的数为x，则较大的数为x＋2，其等量关系为
较小数×较大数＝143．
解 设较小的数为x，则较大的数为x＋2，根据题意，得
x(x＋2)＝143．
答 这两个数是11和13或－13和－11．
例2 有一块长方形铁皮，长32cm，宽24cm，在四角截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，要使盒底的面积为原来面积的一半，求这个盒子的高度．
分析 等量关系为：盒底面积等于原来面积的一半．
解 设这个盒子的高度为xcm，根据题意，得(32－2x)(24－2x)＝
解之，得x1＝24，x2＝4．
经检验x1＝24不合题意，舍去．
∴x＝4(cm)．
答 这个盒子的高度为4cm．
例3 某农场的产量两年内从50万kg增加到60.5万kg，平均每年增产百分之几？
分析 若将平均每年增长率看作x(x是个百分数)，则第一年的产量为50(1＋x)万kg，第二年产量是在第一年产量的基础上再增产，增长率为x，于是，第二年产量为50(1＋x)(1＋x)万 kg，即50(1＋x)2万 kg．
解 设平均每年增长率为x，根据题意，得
50(1＋x)2＝60.5．∴(1＋x)2＝1.21．
解之，得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1(不合题意，舍去)
答：平均每年增产10％．
【讲解设计】•思路与方法
例4 一个容器盛满纯药液20 L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的升数，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液为5 L，问每次倒出的药液为多少升？
提示 设每次倒出的药液是x L，则第一次倒出的是纯药液x L，再
例5 已知：甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1 km／min，乙的速度为2 km／min．若正方形广场的周长为40 km，问几分钟
动到E点，于是，FC＝x，EC＝10－2x，在Rt△EFC中，得x2＋
【练习设计】•识记与理解
1．填空题：
(1)两个数的和等于5，平方和等于13，则这两个数为________；
(2)长方形的长比宽多4 cm，面积为60 cm2，则它的周长为________；
(3)直角三角形两直角边的比为3∶4，其斜边长为10，则两直角边的长分别是________；
(4)某农场的粮食产量，第一年为a万kg，若以后平均每年的增长率都是x，则第三年产量为________万kg，三年总产量为________万kg(用含x，a的代数式表示)；
(5)设C是线段AB的黄金分割点，AB＝1，则AC(AC＜BC)的长为________；
(6)一个两位数，个位上的数比十位上的数小7，且个位上的数与十位上的数之和的平方等于这个两位数，则这两位数是________；
(7)某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡56张，则这个小组共有________人．
2．某校初三年级学生进行广播操比赛，如果排成方阵(即正方形)还多6人；如果每排减4人，排数多6排，但少2人．求学生的总人数．
3．某农场计划修一条断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.53 m2，上口宽比渠底宽多1.4 m，渠深比渠底宽少0.1 m．求渠道的上口宽与渠深．
4．有一面积为150 m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m)，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m．求鸡场的长与宽各是多少米？
5．某厂第一月产值为500万元，第一季度产值为1 750万元．问2，3月份平均每月的增长率是多少(精确到1％)？
6．某校加强预防近视眼工作后，在两个学期内，有23名学生的视力由1.0以下恢复到1.0或1.0以上．该校现有1.0以下视力的学生800人，求每个学期视力在1.0以下的学生人数下降的平均百分比．(精确到0.1％)
7．一个容器，盛满纯药液20 L，倒出一部分后，注满水；第二次又倒出同样多的液体，再注满水，此时，容器内的水是这种纯药液的3倍．求第一次倒出的纯药液有多少升？
【练习设计】•巩固与掌握
8．一块长3 m、宽2 m的铁皮，要在它上面挖一个面积是2 m2的长方形，且使剩下的部分四周一样宽，这个孔应挖在什么地方？
9．等腰梯形上、下底及高之比为1∶4∶2，它的腰与高之差为1 cm，求梯形面积．
10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品，每件商品应售价多少元？
11．某电厂规定，本厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月只要缴10元用电费；如果超过A度，则这个月除
(1)该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应缴电费________元
(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
根据上表，求电厂规定的A度是多少？
【练习设计】•拓展与迁移
12．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．若每月销售件数y(件)与价格x(元/件)满足关系式y＝kx＋b，
(1)确定k与b的值，并指出x的取值范围．
(2)为了使每月获得利润为1920元，问商品应定为每件多少元？
(3)为了获得最大的利润，商品应定为每件多少元？
答案
1．(1)2和3 (2)32cm (3)6和8 (4)a(1＋x)2，a＋a(1＋x)＋
2．262
3．2.4m，0.9m
4．15m，10m
5．16%
6．1.5％
7．10L
9．先求上下底和高，S＝20cm2
10．需要卖出100件商品，每件售价应为25元
12．(1)y＝－30x＋960(16≤x≤32) (2)x＝24元 (3)x＝24元
1．列一元二次方程解应用题的关键在于恰当地选设未知数并根据题目中的数量关系，找出其中的等量，再用含未知数的等式表示．
2．一元二次方程的应用题的主要类型：
①有关数字问题；②有关面积问题；③有关增长率问题；④其他问题．
3．列一元二次方程解应用题时要注意：
(1)解得的根必须符合实际情况．
(2)列方程寻找等量关系时要明确两类等量关系：一种是明显的等量关系，是通过题目中的关键词语表示出来的；另一种是隐含的等量关系，是由学习过的公式或规律给出的．
【讲解设计】•重点与难点
例1 两数之差为2，积为143，求这两个数．
分析 由于两数之差为2，设其中较小的数为x，则较大的数为x＋2，其等量关系为
较小数×较大数＝143．
解 设较小的数为x，则较大的数为x＋2，根据题意，得
x(x＋2)＝143．
答 这两个数是11和13或－13和－11．
例2 有一块长方形铁皮，长32cm，宽24cm，在四角截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，要使盒底的面积为原来面积的一半，求这个盒子的高度．
分析 等量关系为：盒底面积等于原来面积的一半．
解 设这个盒子的高度为xcm，根据题意，得(32－2x)(24－2x)＝
解之，得x1＝24，x2＝4．
经检验x1＝24不合题意，舍去．
∴x＝4(cm)．
答 这个盒子的高度为4cm．
例3 某农场的产量两年内从50万kg增加到60.5万kg，平均每年增产百分之几？
分析 若将平均每年增长率看作x(x是个百分数)，则第一年的产量为50(1＋x)万kg，第二年产量是在第一年产量的基础上再增产，增长率为x，于是，第二年产量为50(1＋x)(1＋x)万 kg，即50(1＋x)2万 kg．
解 设平均每年增长率为x，根据题意，得
50(1＋x)2＝60.5．∴(1＋x)2＝1.21．
解之，得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1(不合题意，舍去)
答：平均每年增产10％．
【讲解设计】•思路与方法
例4 一个容器盛满纯药液20 L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的升数，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液为5 L，问每次倒出的药液为多少升？
提示 设每次倒出的药液是x L，则第一次倒出的是纯药液x L，再
例5 已知：甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1 km／min，乙的速度为2 km／min．若正方形广场的周长为40 km，问几分钟
动到E点，于是，FC＝x，EC＝10－2x，在Rt△EFC中，得x2＋
【练习设计】•识记与理解
1．填空题：
(1)两个数的和等于5，平方和等于13，则这两个数为________；
(2)长方形的长比宽多4 cm，面积为60 cm2，则它的周长为________；
(3)直角三角形两直角边的比为3∶4，其斜边长为10，则两直角边的长分别是________；
(4)某农场的粮食产量，第一年为a万kg，若以后平均每年的增长率都是x，则第三年产量为________万kg，三年总产量为________万kg(用含x，a的代数式表示)；
(5)设C是线段AB的黄金分割点，AB＝1，则AC(AC＜BC)的长为________；
(6)一个两位数，个位上的数比十位上的数小7，且个位上的数与十位上的数之和的平方等于这个两位数，则这两位数是________；
(7)某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡56张，则这个小组共有________人．
2．某校初三年级学生进行广播操比赛，如果排成方阵(即正方形)还多6人；如果每排减4人，排数多6排，但少2人．求学生的总人数．
3．某农场计划修一条断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.53 m2，上口宽比渠底宽多1.4 m，渠深比渠底宽少0.1 m．求渠道的上口宽与渠深．
4．有一面积为150 m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m)，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m．求鸡场的长与宽各是多少米？
5．某厂第一月产值为500万元，第一季度产值为1 750万元．问2，3月份平均每月的增长率是多少(精确到1％)？
6．某校加强预防近视眼工作后，在两个学期内，有23名学生的视力由1.0以下恢复到1.0或1.0以上．该校现有1.0以下视力的学生800人，求每个学期视力在1.0以下的学生人数下降的平均百分比．(精确到0.1％)
7．一个容器，盛满纯药液20 L，倒出一部分后，注满水；第二次又倒出同样多的液体，再注满水，此时，容器内的水是这种纯药液的3倍．求第一次倒出的纯药液有多少升？
【练习设计】•巩固与掌握
8．一块长3 m、宽2 m的铁皮，要在它上面挖一个面积是2 m2的长方形，且使剩下的部分四周一样宽，这个孔应挖在什么地方？
9．等腰梯形上、下底及高之比为1∶4∶2，它的腰与高之差为1 cm，求梯形面积．
10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品，每件商品应售价多少元？
11．某电厂规定，本厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月只要缴10元用电费；如果超过A度，则这个月除
(1)该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应缴电费________元
(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
根据上表，求电厂规定的A度是多少？
【练习设计】•拓展与迁移
12．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．若每月销售件数y(件)与价格x(元/件)满足关系式y＝kx＋b，
(1)确定k与b的值，并指出x的取值范围．
(2)为了使每月获得利润为1920元，问商品应定为每件多少元？
(3)为了获得最大的利润，商品应定为每件多少元？
答案
1．(1)2和3 (2)32cm (3)6和8 (4)a(1＋x)2，a＋a(1＋x)＋
2．262
3．2.4m，0.9m
4．15m，10m
5．16%
6．1.5％
7．10L
9．先求上下底和高，S＝20cm2
10．需要卖出100件商品，每件售价应为25元
12．(1)y＝－30x＋960(16≤x≤32) (2)x＝24元 (3)x＝24元
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(1)列方程解应用题的基本步骤
①审题;
②找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量;
③找出所涉及的基本数量关系;
④列方程;
⑤解方程;
⑥检验.
列一元2次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:
(1)变化率问题;
(2)市场营销中单价,销量,销售额以及利润之间的相互关系问题;
(3)根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.
①审题;
②找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量;
③找出所涉及的基本数量关系;
④列方程;
⑤解方程;
⑥检验.
列一元2次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:
(1)变化率问题;
(2)市场营销中单价,销量,销售额以及利润之间的相互关系问题;
(3)根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.
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