Question

数学题求详细过程和思路。诚心的朋友进。谢谢（已修改。）

如图①，△ABC为等边三角形，面积为S。D1、E1、F1分别是 三边上的点，且AD1=BE1=CF1=二分之一AB，连结D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1。
（1）用S表示△AD1F1的面积S1= ，△D1F1E1的面积S1‘= ；
（2）当D2、E2、F2分别是等边 三边上的点，且AD2=BE2=CF2=三分之一AB时，如图②，求△AD2F2的面积S2和△D2E2F2的面积S2’；
（3）按照上述思路探索下去，当Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=n+1分之一AB时（n为正整数），△ADnFn的面积Sn= ，△DnEnFn的面积Sn‘= 。

如果题看不懂 截图有原题和图。

Answer 1

没图 你自己画图看着 我说。
根据题给的 知道D1 E1 F1 是三边的中点 所以AD1等于AF1 等边三角形 角BAC等于60° 所以等腰三角形AD1F1为等边三角形。 同理 三角形D1E1F1 三角形 BD1E1 三角形 E1F1C 都是等边三角形 由于各个边都相等 所以他们面积都相等。故 4个小全等等边三角形之和为S
所以（1） 三角形AD1F1面积为 1/4 S 三角形 D1F1E1 面积 1/4 S
（2） 观察三角形 AD2F2 三角形 BD2E2 三角形 E2F2C 由于 AD2等于 BE2 等于 F2C 而且 BD2等于E2C 等于AF2 并且 角A 等于角B 等于角C ，由两边相等而且他们的夹角相等知道 他们三个是全等三角形。现在研究三角形 AD2F2 知道AF2等于2倍AD2 ，知道角AD2F2是90°，设三角形ABC边为a， 所以三角形ABC 高为二分之根3 a 1/2 乘以a 乘以 二分之根3 a 等于面积s 算出 a的平方等于三分之四倍根3

没写完 下班了 明天早上继续

追问

我已上传图片，你能看到吗？

追答

早起继续
你给的题图能看到 这个没问题

三角形AD2F2 底AD2 为三分之一a，AF2为三分之二a，计算出高D2F2为三分之根3 倍a，由此三角形AD2F2面积等于 二分之一倍底乘以高 等于1/2 乘以 1/3 a 乘以 三分之根3 a 等于 十八分之跟3 a的平方 ，由于a的平方等于 三分之四倍根3 s，
代入算出 三角形AD2F2面积等于 2/9 S，
由三个全等三角形知道 三角形BD2E2 三角形CE2F2面积 都是2/9 S，
减法算出 三角形D2E2F2 面积为 1/3 S。

（3）按照上两题的思路， 我们知道 无论 n为多少 三角形 AD2F2 三角形 BD2E2 三角形 CE2F2始终是全等三角形。继续研究三角形 AD2F2，作出两条辅助线，作CO，CO是三角形ABC的高 ，作F2I，是三角形 AD2F2的高 ，（CO ,F2I 是平行的 ，这个知道吧 ，画画图就明白） 三角形ABC的高CO 计算过 为二分之根3 a，由三角形 AF2I 和三角形ACO是相似三角形，相似比 AF2比AC等于 F2I比CO ，算出 F2I 等于 2（n+1） 分之 根3倍n乘以a，

所以三角形 AFnDn等于 1/2 乘以 AD2乘以 F2I算出 为（n+1)的平方 分之 n 乘以 s，

继续由减法算出三角形DnEnFn的面积为 S减去 3倍三角形 AFnDn的面积
等于 （n+1）的平方 分之 （n的平方 -n +1)乘以S。

由最后一问，可以知道 其实前面两问就可以按第三种办法解 ，你可以把第一，二问 n的值代入 第三问 看是否正确

Answer 2

解：（1）设等边△ABC的边长是a，
∵AD1=AF1，∠A=60°，
∴△AD1F1是等边三角形，
同理其余三个三角形都是等边三角形，
∴△AD1F1≌△BE1D1≌△CF1E1≌△D1E1F1，
∴S1= S，S1'= S．
（2）设△ABC的边长为a，则△AD2F2的面积 ，
又因为△ABC的面积 ，所以S2= S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵AD2=BE2=CF2，AF2=BD2=CE2，
由“SAS”得出△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，
∴S2′=S-3S2=S-3× S= S．
（3）设△ABC的边长是a，
则Sn= • a• a•sin60°= S，
同理证明△ADnFn≌△BEnDn≌△CFnEn，
∴Sn′=S-3× S= S．

Answer 3

很遗憾，公司部方便，只求出
S1=1/4S;
S1'=1/4S