Question

初一数学题一道！速度！

大数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+……+n=?经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+……+n=2分之1*n（n+1)，其中n是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1*2+2*3+……n(n+1)=?
观察下面三个特殊等式：1*2=三分之一(1*2*3-0*1*2)
2*3=三分之一（2*3*4-1*2*3）
3*4=三分之一（3*4*5-2*3*4)
将这三个等式的两边相加，可以得到1*2+2*3+3*4=三分之一(3*4*5)=20
求下列各式：
1*2+2*3+……+100*101

1*2+2*3+……+n(n+1)

1*2*3+2*3*4+……+n(n+1)(n+2)

Answer 1

由给的特殊形式的例子，可以得出规律，直接套用：
1*2+2*3+……+100*101
=三分之一(1*2*3-0*1*2)+三分之一（2*3*4-1*2*3）+……+三分之一(100*101*102-99*100*101)
=三分之一(100*101*102)
=343400
同理：
1*2+2*3+……+n(n+1)
=三分之一(1*2*3-0*1*2)+三分之一（2*3*4-1*2*3）+……+三分之一(n*(n+1)*(n+2)-(n-1)*n*(n+1))
=三分之一(n*(n+1)*(n+2))
由上述规律，加上最后一题的形式，给予提示：
先看特殊形式：
1*2*3=四分之一(1*2*3*4-0*1*2*3)
2*3*4=四分之一(2*3*4*5-1*2*3*4)
3*4*5=四分之一(3*4*5*6-2*3*4*5)
这三个等式相加，可以得到：1*2*3+2*3*4+3*4*5=四分之一(3*4*5*6)=90
所以
1*2*3+2*3*4+……+n(n+1)(n+2)
=四分之一(1*2*3*4-0*1*2*3)+四分之一(2*3*4*5-1*2*3*4)+四分之一(3*4*5*6-2*3*4*5)+……+四分之一(n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2))
=四分之一(n(n+1)(n+2)(n+3))
要善于找到规律和类推！由式子和给的例子可以看出：以1*2+2*3+……+n(n+1)为例
第一个因式1*2,等于（1的后一项3与这两项的乘积）减去（1的前一项0和这两项的乘积）的差的三分之一，其中1为第一项。
'
'
'
最后一个因式n*(n+1)等于（n的后一项(n+1)与这两项的乘积）减去（n的前一项(n-1)和这两项的乘积）的差的三分之一，其中n为第n项。
所有等式两边的因式分别相加，每个因式的分子上前一个乘积，都与下一个因式分子上的后一个乘积相抵消，最终通过化简整理，得到结果！

要塌下心来看此题，虽然描述的比较复杂，但是在草纸上书写后会明朗的多！
希望能给你帮助！！！