Question

用范德蒙德行列式计算 要过程

（1）a b c
a2 b2 c2
b+c c+a a+b
(2)1 1 1 1
1+a1 1+a2 1+a3 1+a4
a1+a12 a2+a22 a3+a32 a4+a42
a12+a13 a22+a23 a32+a33 a42+a43

Answer 1

1）
原式
=[a,b,c；a^2,b^2,c^2；b+c,c+a,a+b]
=[a,b,c；a^2,b^2,c^2；a+b+c,b+c+a,c+a+b]
=(a+b+c)*[a,b,c；a^2,b^2,c^2；1,1,1]
=(a+b+c)*[1,1,1；a,b,c；a^2,b^2,c^2](换行两次，不用变号)——范氏形成
=(a+b+c)*(c-b)(c-a)(b-a)

2)
原式
=[1,1,1,1； 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4；a1+a1^2,a2+a2^2,a3+a3^2,a4+a4^2；a1^2+a1^3,a2^2+a2^3,a3^2+a3^3,a4^2+a4^3]
=[1,1,1,1； 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4；(1+a1)+(a1+a1^2),(1+a2)+(a2+a2^2),(1+a3)+(a3+a3^2),(1+a4)+(a4+a4^2)；a1^2+a1^3,a2^2+a2^3,a3^2+a3^3,a4^2+a4^3](第二行加到第三行)
=[1,1,1,1； 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4；(1+a1)^2,(1+a2)^2,(1+a3)^2,(1+a4)^2；a1^2+a1^3,a2^2+a2^3,a3^2+a3^3,a4^2+a4^3]
=[1,1,1,1； 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4；(1+a1)^2,(1+a2)^2,(1+a3)^2,(1+a4)^2；2+4a1+3a1^2+a1^3,2+4a2+3a2^2+a2^3,2+4a3+3a3^2+a3^3,2+4a4+3a4^2+a4^3](两倍第三行加到第四行)
=[1,1,1,1；1+a1,1+a2,1+a3,1+a4；(1+a1)^2,(1+a2)^2,(1+a3)^2,(1+a4)^2；(1+a1)^3,(1+a2)^3,(1+a3)^3,(1+a4)^3](第四行减第二行，a^3+3a^2+3a+1=(a+1)^3)——范式行列式形成
=(a4-a3)(a4-a2)(a4-a1)(a3-a2)(a3-a1)(a2-a1)
(这里我展开，最好你用“∏”写出标准连乘答案)