Question

已知α与β都是锐角，cosα=1/7，sin（α+β）=11/14，求cosβ的值

Answer 1

解法一：
α与β都是锐角，0<α<π/2，0<β<π/2，0<α+β<π
所以有：
sinα=(1-cos²α)^(1/2)=4√3/7
cos(α+β)=±[1-sin²(α+β)]^(1/2)=±5√3/14
于是：
cosβ
=cos(α+β-α)
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=(±5√3/14)(1/7)+(11/14)(4√3/7)
=(44±5)√3/98
sinβ
=sin(α+β-α)
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=(11/14)(1/7)-(±5√3/14)(4√3/7)
=11/98-(±60/98)
即：cosβ=√3/2、sinβ=-1/2 或者 cosβ=39√3/98、sinβ=71/98
考虑到β是锐角，则取cosβ=39√3/98

解法二：
根据条件有：
sinα=(1-cos²α)^(1/2)=4√3/7
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(4√3/7)cosβ+(1/7)(1-cos²β)^(1/2)=11/14
即：8√3cosβ+2(1-cos²β)^(1/2)=11
化为：4-4cos²β=(11-8√3cosβ)²=121+192cos²β-176√3cosβ
即：196cos²β-176√3cosβ+117=(2cosβ-√3)(98cosβ-39√3)=0
解得：cosβ=√3/2 或 cosβ=39√3/98
当cosβ=√3/2时，由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(4√3/7)(√3/2)+(1/7)sinβ=11/14 解得sinβ=-1/2，与β是锐角矛盾
当cosβ=39√3/98时，由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(4√3/7)(39√3/98)+(1/7)sinβ=11/14 解得sinβ=71/98
所以取cosβ=39√3/98

Answer 2

sina=1-cos2a=1-1/49=48/49
sin(a+β-a)=sinβ=sin(a+β)sin(a)-cos(a+β)cos(a-β)
剩下的LZ自己算啵

追问

答案是不是1/2

追答

sin(a+β) =11/14
cos（α+β）=5根号3/14

sin(a+β-a)=sinβ=sin(a+β)sin(a)-cos(a+β)cosa=39根号3/98

Answer 3

1/2