Question

在直角坐标系XOY中.点P到两点(0.-根号3).(0.根号3)的距离之和等于4.设点P轨迹为C.

直线y=kx+1与C交于A，B两点。若点A在第一象限，证明：k＞0时，ⅠOAⅠ＞ⅠOBⅠ

Answer 1

1.解：到定点距离和等于定长的点的集合为椭圆
则长轴2a=4，焦距2c=2√3
则短轴2b=2
∵焦点在y轴上
则轨迹C方程为：x²+y²/4=1

2.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)
∵k>0，∴y1>y2
以O为圆心，|OB|为半径，做一个圆O
判定：根据圆的性质，如果A在圆外，则|OA|>|OB|
下面证明A在圆外：
①因为圆与(非退化)椭圆在轴的同一侧至多有2个交点，故不存在A在圆上这种情况，舍去
②当A在圆内时，∵y1>y2，则y轴为椭圆的短轴，不符合椭圆C长轴在y轴的条件，舍去
综上所述：A在圆外
故|OA|>|OB|

Answer 2

(1)根据椭圆定义,P点轨迹是椭圆,焦点坐标为F1(0,-√3),F2(0,√3),
长半轴在Y轴,
方程为:y^2/4+x^2=1.
(2),设OA向量=（x1,y1),OB向量=（x2,y2),
向量OA⊥OB,
OA·OB=x1*x2+y1*y2=0,
y1=kx1+1,y2=kx2+1,
x1*x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,
(x1+x2)(1+k^2)+k(x1+x2)+1=0,(1)
把y=kx+1代入椭圆方程，
(4+k^2)x^2+2kx-3=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-2k/(4+k^2),
x1x2=-3/(4+k^2),
代入（1）式，
k^2=1/4,
k=±1/2，
17x^2±4x-12=0,
x1+x2=±4/17,
x1x2=-12/17,
|AB|=√(1+1/4)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=(1/2)√5[(4/17)^2+48/17]
=4√65/17,
和你结果一样。漏了（1+k^2).