Question

高二数学选修 椭圆

椭圆 X^2/4+Y^2/3=1 直线L过左焦点F1且 与椭圆交于AB（上点为A下点为B）
求 绝对值 （AF1 + F1B）/(AF1·F1B) 的定值

Answer 1

4/3

过A作左准线的垂线交左准线于C，过B作左准线的垂线交左准线于D
则AF1=eAC=AC/2 BF1=eBD=BD/2
设A（x1，y1） B（x2，y2）则 AC=a^2/c+x1=4+x1 BD=4+x2
所以 （AF1 + F1B）/(AF1·F1B) =[16+2(x1+x2)]/[16+4(x1+x2)+x1x2]
设AB：y=k(x+1)联立椭圆 X^2/4+Y^2/3=1
得 (k^2+3/4)x^2+(2k^2)x+k^2-3=0
x1+x2= -(2k^2)/(k^2+3/4) x1x2=(k^2-3)/(k^2+3/4)
计算的（AF1 + F1B）/(AF1·F1B)=4/3