Question

高三数学填空

已知三棱锥P-ABC中各侧面与底面所成的二面角都是60°，且△ABC的三边长为7、8、9，则此三棱锥的侧面积为

Answer 1

侧面积乘以cos60度=底面积，而7、8、9的三角形，8和9所夹的角的余弦值为3分之2，所以此角的正弦值为3分之根号5，所以此三角形的面积为12根号5，从而侧面积为24根号5。

或者用海伦公式
根据海伦公式,
p=1/2*(7+8+9)=12.
S-ABC面积=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√[12(12-7)(12-8)(12-9)]=12√5.
而,S-ABC面积=1/2*r(7+8+9)=12√5,(r为内切圆的半径),
r=√5.
又因为,各侧面与底面的角都是60度,
各侧面的高为:r/cos60=2√5.
则此三棱锥的侧面积为=1/2*2√5(7+8+9)=24√5.

(说明,三棱锥P-ABC中各侧面与底面的角都是60度,则点P在平面ABC中射映,即为三角形ABC内切圆的圆心).