Question

若函数f(x)=loga（x^3-ax)(a>0,a不等于1）在区间（－1/2，0）内单调递增,则a的取值范围是多少？

Answer 1

g(x)=x^3-ax
g'(x)=3x^2-a 根据复合函数单调性 (1)为减减为增 0<a<1,g'(x)<0
(2)为增增为增 a>1 g'(x)>0
(1)若0<a<1 g'(x)=3x^2-a<0
a>3x^2>3/4 所以 1>a>3/4
(2) a>1 g'(x)=3x^2-a>0
a<3x^2<0 不存在
所以 3/4<a<1

Answer 2

解:分下面三步完成
第一步：先求函数的定义域
x^3-ax＞0 ==> (x+√a)x(x-√a)＞0
==> -√a＜x＜0或√a＜x＜+∞
所以定义域是：(-√a，0)∪(√a，+∞)。
第二步：设t=x^3-ax，则t'=3x^2-a=0 ==> x=±√(a/3),所以它在原函数的定义域下的单调性如下：
在(-√a，-√(a/3))上为增函数，
在(-√(a/3)，0)上为减函数，
在(√a，+∞)上为增函数。
第三步：分段讨论原函数的单调性。
(1)若0＜a＜1，则外层的对数函数是减函数，
因而要使f(x)在区间(-0.5,0)内单调递增，必须内层函数t=x^3-ax要在(-0.5,0)内单调递减，因此-√(a/3)＜-0.5 ==> 3/4＜a＜1。
(2)若a＞1，则外层的对数函数是增函数，
因而要使f(x)在区间(-0.5,0)内单调递增，必须内层函数t=x^3-ax要在(-0.5,0)内单调递增，因此-√(a/3)＞0 ==>a＜0 这不可能。
因此，综合两种情况得：a的取值范围是3/4＜a＜1.

Answer 3

若函数f(x)=loga（x^3-ax)(a>0,a不等于1）在区间（－1/2，0）内单调递增,则a的取值范围是多少？

若函数f(x)=loga（x^3-ax)(a>0,a不等于1）在区间（－1/2，0）内单调递增,则a的取值范围是多少？
函数f(x)=loga(X^3-aX)(a>0,a不等于1)的定义域满足X^3-aX>0,
∵x<0,∴x^3-ax<0==>-√a<x<√a
设y=x^3-ax,y'=3x^2-a=0,
x=-√a/3,y'>0,x<-√a/3,y'<0,x>=-√a/√3,
∴ x∈(-√a,-√a/√3)时,y为增函数,x∈(-√a/√3,√a)时,y为减函数,
∵x∈(-1/2,0)时,f(x)为增函数,∴0<a<1且-√a/3=-1/2,√a=1
∴3/4<a<1