Question

求解一道平面几何题

四边形ABCD内接于圆O,弧AB=弧AD,过A点的切线交CB的延长线于E点,若BE=2,CD=3,求AB长度

Answer 1

解：由弧AB=弧AD，可得AB=AD,

设：AB=AD=x，连结AC，

由∠E=∠E，∠EAB=∠ECA（由弦切角定理可得），可得△ABE∽△CAE,

由∠EAC=∠D(由弦切角定理可得)，∠ACE=∠ACD，可得△CDA∽△CAE,

∴△ABE∽△CDA

∴BE：AD=AB：CD

即：2：x=x：3

∴x^2=6,

∴x=根号6.

Answer 2

解，

因为角EAB所夹弧为AB，等于角ECA对应的弧，所以角EAB=角ECA。
又因为角BEA = 角CEA为共用角，所以三角形AEB和三角形AEC相似。
所以有BE/AB = AE/AC
因为弧AB=弧AD，所以所对应的角BCA=角ACD。
因此角EAB=角ECA=角ACD，角EBA=180度-角ABC=角ADC，
所以三角形EAB和三角形ADC相似，
所以AE/AC = AD/CD = AB/CD
即BE/AB = AE/AC = AB/CD
所以AB^2 = BE*CD=2*3=6
所以AB = 根号6