Question

求 f(x,y)=（1+sinx）/(2+cosx) + (y-y^3)/(1+y^2)^2 的值域。

Answer 1

解：
令：f(x)=(1+sinx)/(2+cosx),f(y)=(y-y^3)/(1+y^2)^2
则：f(x,y)=f(x)+f(y)
分两步计算：
第一步(1)： 由f(x)=(1+sinx)/(2+cosx)得：
2*f(x)-1=sinx-cosx*f(x)
两边平方得：
(2*f(x)-1)^2 =(sinx-cosx*f(x))^2
由柯西不等式得：
(2*f(x)-1)^2 =(sinx-cosx*f(x))^2
<=(1^2+f(x)^2)((sinx)^2+(cosx)^2)
=1^2+f(x)^2
即：3f(x)^2-4f(x)<=0
得：0<=f(x)<=4/3
第二步(2)：将f(y)对y求导得：f'(y)=(y^6-5y^4-5y^2+1)/(1+y^2)^4
令f'(y)=0 即：y^6-5y^4-5y^2+1=0
实数解为：y1=√2-1，y2=-√2-1，y3=1-√2，y4=1+√2
又:f(y1)=0.25,f(y2)=0.25,f(y3)=-0.25,f(y4)=-0.25
所以：-0.25<=f(y)<=0.25
由(1)(2)可知：
-1/4<=f(x,y)=f(x)+f(y)<=19/12
故：f(x,y)属于[-1/4,19/12]