Question

请问一元二次方程中的系数a，b和c有什么含义？

y=ax^2+bx+c中的a，b和c这三个系数在图像方面是怎样的？表示什么意思？为什么和根有联系？

Answer 1

y=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a,
对称轴是x=-b/2a, 顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

a决定了图像的开口是向上的还是向下的，a>0,开口向上，a<0开口向下。
a,b共同决定了对称轴的位置，对称轴是x=-b/2a
a,b同号，对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号，对称轴在y轴右侧
c决定了图像与y轴的交点。因为当x=0时，y=c.

为什么和根有联系？
只要符合二次函数的形式和条件，二次函数可以由a,b,c来决定。
而不同的a,b,c，所得到的二次函数通常不同，而根也会不同。
求根公式是这样推导出来的：
ax^2+bx+c=0
a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a=0
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
开方得：x+b/2a=±根号[(b^2-4ac)]/2a
x=[-b±根号(b^2-4ac)] / 2a
即:
x1=[-b+根号(b^2-4ac) / 2a
x2=[-b-根号(b^2-4ac)] / 2a

所以根可以由a,b,c的值来求得。所以a,b,c和根由联系。

Answer 2

a表示开口方向: >0开口向上; < 0开口向下
c表示与y轴交点的纵坐标
b与a,c一起决定对称轴(x = -b/(2a))及顶点的位置(-b/(2a), c - b^2/(4a)
b^2-4ac ≥ 0时,即c - b^2/(4a) ≤ 0时, 图像与x轴有交点, y = 0有根