Question

求函数表达式

已知函数f(x) f'(x)=kf(x)+b k＜0 f（0）=0 f’（0）=3 就是（0 ，0）点切线斜率3 f（x）的渐近线为y=2 能求f（x）吗

Answer 1

因为f'(x)=kf(x)+b，且f（0）=0，f’（0）=3
所以3=f'(0)=kf(0)+b=b
又因为 f（x）的渐近线为y=2，所以当x接近正无穷或者负无穷时，f‘（x）=0，f（x）=2
带入f'(x)=kf(x)+3
可得k=-3/2
所以f'(x)=-3/2 *f(x)+3
所以可写作dy/dx=3-3y/2
所以dy/（3-3y/2）=dx
两边求积分可得-2ln（3-3y/2）/3=x+C （C是常数）
因为f（0）=0，
所以C=-（2ln3）/3
所以-2ln（3-3y/2）/3=x-（2ln3）/3
所以ln（3-3y/2）=-3x/2 +ln3
所以e^(-3x/2 +ln3)=3-3y/2
所以y=2-2e^(-3x/2 +ln3)/3
验算f ’（x）=-2e^(-3x/2 +ln3)/3 *（-3/2）=e^(-3x/2 +ln3)
-3/2 *f(x)+3=-3/2 *（2-2e^(-3x/2 +ln3)/3）+3=e^(-3x/2 +ln3)
f（0）=2-2e^(ln3)/3=0
因为f ’（x）=e^(-3x/2 +ln3)
所以f’（0）=e^(ln3)=3.
所以函数y=2-2e^(-3x/2 +ln3)/3
符合条件f'(x)=kf(x)+b k＜0
f（0）=0
f’（0）=3
f（x）的渐近线为y=2。

Answer 2

/2a=0,b=0,

ax^2+1=-ax+3,
ax^2+ax-2=0,
x1+x2=-1,
x1*x2=-2/a.
而,y1=2=-ax1+3,
x1=1/a.
x2=-1-(1/a).
则有
[-1-(1/a)]*(1/a)]=-2/a.
a=1.
所求直线l的函数表达式为:Y=-X+3.

2)|MP|:|PN|=3:1.
设,点P坐标为(X,Y),则有
|MP|/|PN|=-3/1.
当y=0时,X=3/a,x=0时,y=3.则
点M坐标为(3/a,0),点N从坐标为(0,3).
利用定比分点公式:
X=[3/a+(-3)*0]/(1-3)=-3/2a.
y=[0+(3)*3]/(1-3)=-9/2.
而,ax^2+ax-2=0,
将X=3/2a代入ax^2+ax-2=0得,
a=9/14.

当:|MP|/|PN|=3/1=3时,则有
X=(3/a+3*0)/(1+3)=3/4a.
将X=3/4a代入ax^2+ax-2=0得,
a=9/20.
所以,抛物线的函数表达式是:
Y=(9/14)x^2+1或y=(9/20)*x^2+1.

Answer 3

1)顶点是C(0，1),则有
1=c,
-b/2a=0,b=0,

ax^2+1=-ax+3,
ax^2+ax-2=0,
x1+x2=-1,
x1*x2=-2/a.
而,y1=2=-ax1+3,
x1=1/a.
x2=-1-(1/a).
则有
[-1-(1/a)]*(1/a)]=-2/a.
a=1.
所求直线l的函数表达式为:Y=-X+3.

2)|MP|:|PN|=3:1.
设,点P坐标为(X,Y),则有
|MP|/|PN|=-3/1.
当y=0时,X=3/a,x=0时,y=3.则
点M坐标为(3/a,0),点N从坐标为(0,3).
利用定比分点公式:
X=[3/a+(-3)*0]/(1-3)=-3/2a.
y=[0+(3)*3]/(1-3)=-9/2.
而,ax^2+ax-2=0,
将X=3/2a代入ax^2+ax-2=0得,
a=9/14.

当:|MP|/|PN|=3/1=3时,则有
X=(3/a+3*0)/(1+3)=3/4a.
将X=3/4a代入ax^2+ax-2=0得,
a=9/20.
所以,抛物线的函数表达式是:
Y=(9/14)x^2+1或y=(9/20)*x^2+1.

追问

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