Question

求极限 一道数学题

lim(n->+∞） （3n+3^n)^2 / sin(n^3)+9^n

Answer 1

lim(n->+∞） （3n+3^n)^2 / sin(n^3)+9^n=lim(n->+∞）(9n^2+6n*3^n+3^2n)/sin(n^3)+9^n
=lim(n->+∞）[9n^2/9^n+6n*3^n/9^n+1]/[sin(n^3)/9^n+1]
因为lim(n->+∞）9n^2/9^n=0，lim(n->+∞）6n*3^n/9^n=lim(n->+∞）6n（1/3)^n=0 lim(n->+∞）[sin(n^3)/9^n]=0,lim(n->+∞） （3n+3^n)^2 / sin(n^3)+9^n=1

追问

能解释一下为什么lim(n->+∞）9n^2/9^n=0，lim(n->+∞）6n*3^n/9^n=lim(n->+∞）6n（1/3)^n=0 lim(n->+∞）[sin(n^3)/9^n]=0

追答

对于函数y=9x^2-9^x y'(x)=18x-9^xln9,y"(x)=18-9^x(ln9)^2,y'''(x)=-9^x(ln9)^31,y"(x)1,y'(x)是减函数，当 y'(1)=18-9ln91,y‘（x)1,y=9x^2-9^x 是减函数。当x=1时 y=0,所以当x>1时
y=9x^2-9^x1时递减（根据高等数学关于极限定理）又因为当n>1,9n^2/9^n+∞）9n^2/9^n=0
lim(n->+∞）6n*3^n/9^n=lim(n->+∞）6n（1/3)^n=0。道理相同
因为|sin(n^3)|+∞）[sin(n^3)/9^n]=0

Answer 2

首先，这个题目有很多种解法：如罗比达法则，等价无穷小代换，变形应用重要极限，泰勒公式等等都可以

下面我来依次回答你的问题：

1.请问未定式是不是不能采用把x的值代入的方法做？？
可以带入，我本来是要说不可以带入了的，但确实允许带入，我不能剥削你带入的权利；
问题在于，你带入之后仍然是未定式，算不出结果，所以徒劳无功，聪明点对于未定式就不要做这样的无谓尝试了.

2.我还想再请问一下，如果抛开上面那个题，只看g(x)=ln((sinx)/x),那么是不是就可以按照上述方法计算出它的极限为0，而上面那个题之所以不能这样代入是因为那个题是未定式不能用这种方法计算而并不是因为这种方法本身就是错的，是吗？？

是的，你的理解完全正确！

3.如果只看g(x)=ln((sinx)/x),就可以那样代入x的值计算极限了，对吗？？g(x)应该是个函数嵌套吧，应该满足复合函数的极限法则，lim f[g(x)]=f[lim g(x)] ,对吗？

是的，你的理解完全正确！

4.我随便选取一种方法来给你做正确的求解如下：

为了书写方便和便于阅读 ，lim[x->0]都以lim代替了,我会写的很详细

lim (1/x)ln((sinx)/x)
=lim(1/x)ln{1+[(sinx-x)/x]}
=lim (1/x)[(sinx-x)/x]
=lim (sinx-x)/x^2
=lim (cosx-1)/2x
=lim (-x^2/2)/2x
=lim -x/4
=0

从上面详尽的推导过程可知，原式=0，与你的答案不同，但我对
这个结果有绝对的自信！

5.你说的你的这道题的答案是 -1/6
原因可能在于：
（1）你看错了没？
（2）印刷错误，原题目如果是 lim[x->0] (1/x^2)ln(sinx/x)
那么结果就是 -1/6 了 ！

Hope all this helps !~~ :-)