Question

高一不等式问题

ab之和2
求证:a2/(2-a)+b2/(2-b)≥2

Answer 1

a²/（2-a）+b²/（2-b）
=(a²-4+4)/（2-a）+b²-4+4/（2-b）
=(a+2)(a-2)/(2-a)+4/(2-a)+(b+2)(b-2)/(2-b)+4/(2-b)
=-a-2+4/(2-a)-b-2+4/(2-b)
=-[a-2+2]+4/(2-a)-2-[b-2+2+4/(2-b)]-2
=2-a+4/(2-a)+2-b+4/(2-b)-6
因为2-a+4/(2-a)≥2√4=4 2-b+4/(2-b)≥2√4=4
所以原式≥4+4-6=2

Answer 2

先通分=[2a²+2b²-ab（a+b)]/[4-2(a+b)+ab]
a+b=2，那么分母就等于ab，由于a²+b²≥2根号a*b，整个就≥2*2根号a²b²-ab（a+b)]/ab≥4-2即≥2
时间离开的太远了，不知道对不对。

Answer 3

还有限制条件a,b>0吧。将b=2-a代入a^2/(2-a)+b^2/(2-b)化简得到8/[a(2-a)]-6，分母的最大值为1，因此整个式子的最小值就为8/1-6=2

Answer 4

a+b=2 a=2-b b=2-a
原式=a^2/b+b^2/a=（a^3+b^3）/ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab
∵a^2+b^2≥2ab
所以成立

Answer 5

a+b=2
(a-b)^2≥0
a^2+b^2≥2ab

a2/(2-a)+b2/(2-b)
=a^2/b+b^2/a
=[a^3+b^3]/(ab)
=[(a+b)(a^2-ab+b^2)]/(ab)
=[2(a^2-ab+b^2)]/(ab)
≥[2(2ab-ab)]/(ab)=2
则a2/(2-a)+b2/(2-b)≥2