Question

一道用重积分计算物体质心的问题。

已知有一均匀半圆薄片，半径为a，放在第一、2中。现在以b为半径，原点为圆心截去半圆，求质心的y坐标（薄片面密度为1）。
补充：我算出的结果为2*(a^3-b^3)/[ (a^2-b^2)*3]。但当b趋近于0时质心纵坐标并不趋近于
第一行的是一、二象限。
补充的是b趋近于0时质心纵坐标不趋近于圆盘质心纵坐标4a/3π。正确过程是什么？

Answer 1

本题看似二重积分，其实两维的质心问题，全部可以简化为一重积分。

下图用两种不同的思路解答，点击放大：

Answer 2

是一个半径为b的半圆截去另一个半径为a的半圆吗？
半圆形心公式（到直径的距离）x=4r/(3π)，我就不算了，用二重积分就可以算。
所以用负面积法，负面积法也是从二重积分的公式中很容易得出。
xc=[πa^2*4a/(3π)-(πb^2)*4b/(3π)]/(πa^2-πb^2)
=4/(3π)*(a^3-b^3)/(a^2-b^2)
=4/(3π)*(a^2+b^2+ab)/(a+b)
b趋近0，还是4a/(3π)

你问的是b趋近a吧，这样为半圆环，为2a/(π)

追问

可以解释一下负面积法吗？你的结果和我算的只差2/π。

追答

形心计算基本公式本来就是
xc=∑Aixi/∑Ai，yc=∑Aiyi/∑Ai
Ai代表每一块的面积，减去的部分算负
xi、yi代表每一块面积的形心坐标
如果Ai为无穷小，则转化为积分运算
xc=∫∫xdxdy/∫∫dxdy，yc=∫∫ydxdy/∫∫dxdy

负面积，A为实际图形面积，A正为大图形面积，A负为要减去的图形面积
因为Axc+A负x负=A正x正，这点很明显
所以xc=(A正x正-A负x负)/A
因为减去的部分可以算作负面积