Question

证明不等式：ln(x+1)≤1+1/2+1/3+......+1/n＜1+lnn

Answer 1

证明：令 f(x) =1/x,
则 f(x) 在区间 [ n, n+1 ] 上的最大值为
f(n) =1/n,
最小值为
f(n+1) =1/(n+1).
由定积分性质, 得
1/(n+1) < f(x)在[ n, n+1 ] 上的定积分 < 1/n
即 1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n.
所以 1/2 < ln 2 < 1,
1/3 < ln3 -ln2 < 1/2,
... ...
1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n,
所以 1/2 +1/3 +... +1/(n+1) < ln (n+1) < 1 +1/2 +1/3 +... +1/n,
同理, 1/2 +1/3 +... +1/n < ln n,
所以 1 +1/2 +1/3 +... +1/n < 1 +ln n.
综上, ln (n+1) <1 +1/2 +1/3 +... +1/n < 1 +ln n.

= = = = = = = = =
定积分的性质：
设M,m 分别是 f(x) 在 [a,b] 上的最大值及最小值,
则 m (b-a) <= f(x) 在 [a,b] 上的定积分 <= M (b-a).