Question

数列 已知递推公式求通项公式

已知数列an满足a1=0，an+1=（an-根号3）/（根号3倍的an+1），则a20=？

Answer 1

1
a1=1
a2=1
a3=a1+a2=2
a4=a2+a3=3
a5=a3+a4=5

从第二项开始：
是数菲波纳奇数列

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

递归函数是f(n+1)=f(n)+f(n-1)，没有初等函数的通项公式。

2

猜想：通项是不能用初等函数表示出来的.
理由:通项的式子是非线性的.难以用一般的方法求出来。要求的所谓的“通项”，其实也只不过是以n作自变量，用那八九类基本初等函数复合而已。否则，若不能用那些基本初等函数复合得到，通项也就不能精确地表示出来了，只能求助于计算数学，求出某一项的近似值，也不能求出所有的近似值。

所以，现在首要的问题就是证明这个通项能不能写出解析表达式，即用初等函数复合出来。如果这个问题解决不了，很可能我们的一切努力都是白费了。

在微分方程中，刘维尔证明过几乎所有的非线性方程，解函数没有解析表达式。

而在这里，我估计结论差不多。更具体的如何去操作，不得而知了。

但可以证明这个通项是趋于正无穷的.从已知的式子,利用归纳法可证an<=n,从而1/an>1/n,从而a(n+1)>=an+1/n,而an递增，从而通项的增长速度不慢于调和级数的.

追问

请就题论题……这题咋做？

Answer 2

1 a1=1 a2=1 a3=a1+a2=2 a4=a2+a3=3 a5=a3+a4=5

第二项开始：
是数菲波纳奇数列

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

递归函数是f(n+1)=f(n)+f(n-1)，没有初等函数的通项公式。

2

猜想：通项是不能用初等函数表示出来的.
理由:通项的式子是非线性的.难以用一般的方法求出来。要求的所谓的“通项”，其实也只不过是以n作自变量，用那八九类基本初等函数复合而已。否则，若不能用那些基本初等函数复合得到，通项也就不能精确地表示出来了，只能求助于计算数学，求出某一项的近似值，也不能求出所有的近似值。

所以，现在首要的问题就是证明这个通项能不能写出解析表达式，即用初等函数复合出来。如果这个问题解决不了，很可能我们的一切努力都是白费了。

在微分方程中，刘维尔证明过几乎所有的非线性方程，解函数没有解析表达式。

而在这里，我估计结论差不多。更具体的如何去操作，不得而知了。

但可以证明这个通项是趋于正无穷的.从已知的式子,利用归纳法可证an<=n,从而1/an>1/n,从而a(n+1)>=an+1/n,而an递增，从而通项的增长速度不慢于调和级数的.

Answer 3

An=(n－1)(An-2＋An-1)
An-1=(n－2)(An-3＋An-2)
两式相减得
An-An-1=(n－1)(An-2＋An-1)-(n－2)(An-3＋An-2)=An-2+(n-1)An-1-(n－2)An-3
于是
An=An-2+nAn-1-(n-2)An-3
得An-nAn-1=An-2-(n-2)An-3
令Bn=An-nAn-1，则有Bn=B(n-2)
本题显然还需知A1、A2，进而得A3=2(A1+A2)。于是
B2=A2-2A1，B3=A3-3A2=2(A1+A2)-3A2=2A1-A2=-B2
则有B2k=B2=A2-2A1=A2k-2kA2k-1=(-1)^2k*B2
B2k+1=B3=-B2=2A1-A2=A2k+1-(2k+1)A2k=(-1)^(2k+1)*B2
二式可统一为
An-nAn-1=(-1)^n*B2
按说到此就可以求出来了。如果有A2=2A1，则B2=0，就有An=nAn-1=n!A1。否则的话是没有统一的通项公式的。