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此题有难度，楼上的结果完全不对。
题目给了两个约束条件，利用a=b=c则abc达到最大值的条件无法成立。我认为直接用不等式的知识很难解答。
a+b=12-c, [1]
ab+c(a+b)=ab+c(12-c)=45, ab=c^2-12c+45, [2]
可以将a，b看成是方程：x^2 + (c-12)x + (c^2-12c+45) = 0 的两个正解。
则：(c-12)^2-4(c^2-12c+45)= -3 (c^2-8c+12) ≥0,
解得： 2≤c≤6；同样2≤a≤6，2≤b≤6
等式[2]两边乘c，得：abc=f(c)= c^3-12c^2+45c, [3]
现在求f(c)的最大值。f'(c)= 3c^2-24c+45=3(c-3)(c-5) , [4]
令f'(c)= 0，得到 c=3 或c＝5
当2≤c<3时，f'(c)>0, 3<c<5时，f'(c)<0, 5<c≤6时，f'(c)>0，通过函数的单调性可以看到，f(3)有极大值，f(5)有极小值
f（3）＝3*(3^2-12*3+45)=54, f(6)=6*(6^2-12*6+45)=54
即abc的最大值是54。
题目给了两个约束条件，利用a=b=c则abc达到最大值的条件无法成立。我认为直接用不等式的知识很难解答。
a+b=12-c, [1]
ab+c(a+b)=ab+c(12-c)=45, ab=c^2-12c+45, [2]
可以将a，b看成是方程：x^2 + (c-12)x + (c^2-12c+45) = 0 的两个正解。
则：(c-12)^2-4(c^2-12c+45)= -3 (c^2-8c+12) ≥0,
解得： 2≤c≤6；同样2≤a≤6，2≤b≤6
等式[2]两边乘c，得：abc=f(c)= c^3-12c^2+45c, [3]
现在求f(c)的最大值。f'(c)= 3c^2-24c+45=3(c-3)(c-5) , [4]
令f'(c)= 0，得到 c=3 或c＝5
当2≤c<3时，f'(c)>0, 3<c<5时，f'(c)<0, 5<c≤6时，f'(c)>0，通过函数的单调性可以看到，f(3)有极大值，f(5)有极小值
f（3）＝3*(3^2-12*3+45)=54, f(6)=6*(6^2-12*6+45)=54
即abc的最大值是54。
追问
是求ab，不是abc
参考资料： 百度一下
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