Question

高数的一个问题

设函数f（x）在（0，m）上连续，且f（0）=0，lim(x->0)【f（x)/（1-cosx）x】=1 则在x=0处f（x）？
1.可导吗？ 2.f’（0）=0吗？ 3.能取极大或极小值吗？如果能，是极大还是极小？

Answer 1

lim(x->0)[f（x)/（1-cosx）x]=1
∴lim(x→0)f(x)=0
f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)f(x)/x
又∵lim(x->0)【f（x)/（1-cosx）x】=1
即lim(x→0)f(x)/[(x^3)/2]=1,即f(x)是(x^3)/2在x→0时的等价无穷小，即f(x)是x在x→0时的高阶无穷小，即lim(x→0)f(x)/x=0
∴f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)f(x)/x=0
即f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0

lim(x->0)[f（x)/（1-cosx）x]=lim(x→0)f(x)/[(x^3)/2]=2/3lim(x→0)f'(x)/x^2=1
同理f‘(x)是(3x^2)/2在x→0时的等价无穷小
所以f’(x)是x在x→0时的高阶无穷小
f''(0)=lim(x→0)(f'(x)-f'(0))/(x-0)=lim(x→0)f'(x)/x=0

f'''(0)=lim(x→0)
lim(x->0)[f（x)/（1-cosx）x]=lim(x→0)f(x)/[(x^3)/2]=2/3lim(x→0)f'(x)/x^2=1/3lim(x→0)f''(x)/x=1
∴lim(x→0)f''(x)/x=3
f‘’‘(0)=lim(x→0)[f''(x)-f''(0)]/(x-0)=lim(x→0)f''(x)/x=3≠0
根据高阶导数判别法：一阶导和二阶导都为0，三阶导不为0，所以x=0是拐点，但是不是极值点

Answer 2

解：∵此曲线过原点，且任意一点(x,y)处的切线斜率等于2x+y
∴根据题意列方程 y'=2x+y，且当x=0时，y=0
∵齐次方程y'-y=0的特征方程是r-1=0
∴齐次方程的通解是y=Ce^x （C是积分常数）
∵设方程y'=2x+y的特解是y=Ax+B
代入y'=2x+y求得A=B=-2
∴方程y'=2x+y的特解是y=-2x-2
∴方程y'=2x+y的通解是y=Ce^x-2x-2
∵当x=0时，y=0
∴C-2=0 ==>C=2
∴y=2e^x-2x-2
故所求曲线方程是y=2e^x-2x-2。

追问

什么和什么啊、、