Question

一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，在这轻弹簧下挂一质量为m的小物体。待小物体静止后再把它竖直向下拉一

段距离，然后由静止释放，让其自由振动。试证明：该小物体的振动是简谐运动

Answer 1

设物体的位移与时间的函数关系式为y=y(t)
则有md^2y/dx^2=mg-kx,md^2y/dx^2+kx=mg（1）
这是一个二阶常系数非齐次微分方程
齐次方程md^2y/dx^2+kx=0的特征方程的解为±√(k/m)
齐次方程md^2y/dx^2+kx=0的解为y=C1cos√(k/m)t+C2sin√(k/m)t=√(C1^2+C2^2)sin(√(k/m)t+φ )(其中tanφ =C1/C2）
设特解为y*=M，带入方程（1）得M=mg/k
所以y=√(C1^2+C2^2)sin(√(k/m)t+φ )+mg/k,令√(C1^2+C2^2)=A，√(k/m)=w，mg/k=h
y=Asin((wt+ φ )+h.

Answer 2

m*dx/dt=mg-kx,解方程后x=Asinwt+A0