Question

已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛

已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的 ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：分别把A（1，0）、B（3，0）两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，
解之得：b=-4，c=3，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2；

（2）证明：抛物线的解析式为y=x2-4x+3，
当x=0时，y=3
∴C点坐标为（0，3），
而y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线顶点D点坐标为（2，-1）．
∴tan∠DOF=12；
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，
∴F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE．
∵△OBC是等腰直角三角形，OE⊥BC，
∴∠EOB=45°，而OF=2，EF⊥OB，
∴EF=2，
∴E点坐标为（2，2），
∴tan∠ABE=2，
∴∠DAF≠∠ABE，
∴DO与EB不平行．
而△DFB也是等腰直角三角形，
∴∠BOE=∠OBD=45°，
∴OE∥BD，
∴四边形ODBE是梯形．（5分）
在Rt△ODF和Rt△EBF中，
OD=OF2+DF2=
22+12=
5，BE=EF2+FB2=
22+12=
5，
∴OD=BE，
∴四边形ODBE是等腰梯形．（7分）

（3）解：存在．理由如下：（8分）
由题意得：S四边形ODBE=12OB•DE=
12×3×3=
92．（9分）
设点Q坐标为（x，y）．
由题意得：S三角形OBQ=12OB•|y|=
32|y|，S四边形ODBE=13×
92=
32，
∴y=±1．
当y=1时，即x2-4x+3=1，
∴x1=2+
2，x2=2-
2，
∴Q点坐标为（2+2，1）或（2-2，1）（11分）
当y=-1时，即x2-4x+3=-1，
∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1），即为顶点D．
综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1），Q2（2-2，1），Q3（2，-1）．
使得S三角形OBQ=13S四边形ODBE．（12分）

Answer 2

（2）y=(x-1)(x-3)
易得c（0,3），b（3,0），D（2，-1），O（0,0）
OE方程：y=x，BE方程：y=-x+3，联立得E（1.5,1.5）
OE垂直于BE，BD平行于OE，OD与BC不平行，故为直角梯形
（3）ODBE面积为15/4
OBQ面积为5/4
即△OBQ高为5/6
即（x-1)(x-3）的绝对值为5/6
解方程
得x=2+（11/6）^1/2或x=2-（11/6）^1/2

追问

?????????

Answer 3

(1)b=-4,c=3,对称轴：X=2
(2BC：y=-x+3,OE:y=x,故：E(2,2)
OD=BE=2.236,ODBE是等腰梯形
（3）Q(5.12;8.74)