Question

急！！数学问题，求详细解答过程

13. 已知函数f(x)=k4^x-k*2^(x+1)-4(k+5)在区间[0,2]上存在零点，则实数k的取值范围是_______ .

Answer 1

解，
f(x) = k * 4^x - k * 2^(x+1) - 4(k+5)
= k* (2^x)^2 - 2k * 2^x - (4k+20)
设y = 2^x，因为x在区间[0,2]上存在0点，此时y在区间[1,4]上。
即f(y) = k * y^2 - 2ky - 4k - 20
= k * (y^2 - 2y - 4) - 20 在y属于[1,4]时有0点。

取f(y)=0，得k = 20 / (y^2 - 2y - 4) = 20/ [(y-1)^2 - 5]
因为1<=y<=4，所以0<= y-1 <= 3
所以0 <= (y-1)^2 <= 9
所以-5 <= (y-1)^2 - 5 <= 4
于是 1/ [(y-1)^2 - 5] >= 1/4 或者 1/ [(y-1)^2 - 5] <= -1/5
因此 k >= 5或者k<= -4
这就是k的取值范围。

Answer 2

令y=2^x,原式可化简成关于y的一元二次方程,然后谈论就是呢
相当此一元二次方程在此区间有根为1