Question

解析几何不错的同学入。面对高中解析几何题无法入手怎么办？（分数可追加）

先说一道题吧。

直线l:Y=x+1.曲线Cx`2/a`2 + y`2/b`2 =1 (a>0 b>0)交于不同的两点A B 。O是坐标原点

第1问跳过
第2问：若OA垂直于OB，当a>b且a属于2分之根号6，2分之根号10时，求曲线C的离心率e的范围。

我知道这题做得出，但是就是没思路。从OA垂直OB可以得到什么关于e范围的信息？不等式从哪里来？判别式吗？如果找到了不等式又不能确定它是不是所求的精确范围。

……

类似于这种题一直都是我的软肋。貌似没有任何联系的两个、多个变量要求范围，要消元，要放缩不等式，还要从等量里找不等量……

求基本方法，基本思路，基本技巧，求指导……

最好不单是讲这个问题啊。整个高中解析几何有什么思想方法吗？

Answer 1

直线l:Y=x+1.曲线Cx²/a² + y²/b²=1 (a>0 b>0)交于不同的两点A B 。O是坐标原点
若OA⊥OB，当a>b且√6/2≤a≤√10/2时，求曲线C的离心率e的范围。
解:∵OA⊥OB,∴常常要利用向量的数量积 OA•OB=0.
将y=x+1代入椭圆方程: x²/a²+(x+1)²/b²=1
去分母,整理得 (a²+b²)x²+2a²x+a²(1-b²)=0...........................(1)
设A(x₁,y₁); B(x₂,y₂), x₁, x₂是方程(1)的根,故有:
x₁+x₂=-2a²/(a²+b²)
x₁x₂=a²(1-b²)/(a²+b²)
y₁+y₂=(x₁+1)+(x₂+1)=(x+x₂)+2=-2a²/(a²+b²)+2=2b²/(a²+b²)
y₁y₂=(x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=a²(1-b²)/(a²+b²)-2a²/(a²+b²)+1
=b²(1-a²)/(a²+b²)
∵OA⊥OB,∴OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=a²(1-b²)/(a²+b²)+b²(1-a²)/(a²+b²)
=(a²+b²-2a²b²)/(a²+b²)=0
于是得 a²+b²-2a²b²=0................................(2)
用b²=a²-c²代入(2)式得:
a²+(a²-c²)-2a²(a²-c²)=2a²-c²-2a²(a²-c²)=2a²-c²-2a⁴(1-c²/a²)=0, e=c/a
用a²除两边得 2- e²-2a²(1-e²)=0
故得a²=(2-e²)/[2(1-e²)], 由于√6/2≤a≤√10/2, 3/2≤a²≤5/2,
∴有 3/2≤(2-e²)/[2(1-e²)]≤5/2 即有3≤(2-e²)/(1-e²)≤5
由 (2-e²)/(1-e²)≥3,解得e≥√2/2; 由(2-e²)/(1-e²)≤5,解得 e≤√3/2.
故 √2/2≤e≤√3/2

追问

你是对的。我也做出这题了。不过一般思路还是没怎么掌握好。

Answer 2

离心率=1/3，直线AF的斜率=b/c，则直线AQ方程为：y=-c/b*x+b，所以Q的坐标（b*b/c，0）再利用向量之比得P的坐标为（8b*b/13c，5b/13）。满足椭圆方程即可。
a=3c，b*b=8c*c，在直角三角形AFQ中，外接圆的圆心为AQ的中点，所以圆心坐标（7c/2，0）半径9c/2，利用点到直线的距离公式即可得到c=2/5，a=6/5，b*b=32/25.

追问

为什么我问题刚点发出来就有回答了 0 0？还是不一样的题？

Answer 3

这样的题目，几点必须做的，设点,A,B的坐标，联立方程，【 关于X的方程，关于Y的方程】其中需要根的判别式大于0，根与系数的关系列出相应的表达式，oA垂直oB那是告诉你了斜率相乘等于-1啊，即得到了两点坐标之间的关系式了，这也是常识了都，要求离心率的范围就必须列出其表达式，根据椭圆中abc三者之间的关系作出化简，【两边同时平方之后化简】要必须有这种意识，这些都是大体上的，我相信你只要把这些之间的关系弄清楚那个范围就可以求出来了。

.什么叫解析几何啊，就是要把图形和函数联系在一起，作出分析，我那个好长时间没学过高中的知识了忘了好多啊，希望能给你点帮助。

追问

云里雾里的 = =。

Answer 4

将两点坐标射出来,根据韦达定理及两直线垂直斜率积为-1即可

追问

？！好简单？！