Question

简单的导数题，急急急

已知F(x)=-x的立方-x，x属于闭区间m，n，且f（m）*f（n）小于0，则方程f（x）=0在闭区间m，n上
答案是 有且只有一个实数根

？？？？

Answer 1

F(x)=-x的立方-x
F'(x)=-3x平方-1<0
所以F(x)单调递减,连续
x属于闭区间m，n, F(m)*F(n)<0 ==>F(m),F(n)有相反的符号==>F(x)=0 存在
F(x)=-x的立方-x=0
-x(x*x+1)=0
x*x=-1, x=+(-1)^(1/2), x=-(-1)^(1/2), 2虚根
x=0, 有且只有一个实数根

Answer 2

F(x)=-x^3-x
F'(x)=-3x^2-1<0
所以 F(x)在定义域内是单调减函数
而 f(m)*f(n)<0
说明 f(m)和f(n)异号，所以在 [m,n]间必存在一点，而且只有一点c，使得
c∈[m,n] 且 f(c)=0

假如存在两个这样的点 m<x1<x2<n，使得 f(x1)=f(x2)=0
而由于函数是单调减数，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)与 f(x1)=f(x2)矛盾，所以只有一个点。

即 f(x)=0在 [m,n]上有且只有一个实数根。

Answer 3

F'(x)=-3x平方-1<0
所以F(x)递减
显然F(x)连续
若没有实数根
不妨设m<n
则f(m)>f(n)

没有实数根则f(x)不等于0
因为递减，若f(m)<0,则f(n)<f(m)<0
而若f(n)>0,则f(m)>0
都和f(m)f(n)<0矛盾
所以有解

若有不止一个解
则至少两个，假设是a和b，且a<b
减函数则f(a)>f(b)
但a和b都是解则f(a)=f(b)=0
矛盾
所以最多只有一个解

所以有且只有一个实数根

Answer 4

F'(X)=-3X²-1＜0，故该函数单调递减，
f（m）*f（n）小于0，m＜n
故f（m）＞0，f（n）＜0
则方程f（x）=0在闭区间m，n上，由于单调，故只有一个实数根。

Answer 5

这种题
一般先根据f（m）*f（n）小于0证明存在性
再根据函数单调性证明唯一性
单调性求一次导数判断