Question

数列1，（1+2），（1+2+2^2),......,(1+2+2^2+...+2^n-1+...)的前n项和为多少

Answer 1

（1）a(n+2)=1-1/a(n+1)=[a(n+1)-1]/a(n+1)……代换为a(n+1)
={[1-1/a(n)]-1}/[1-1/a(n)]=[-1/a(n)]/{[a(n)-1]/a(n)}=-1/[a(n)-1]……代换为a(n)
=-1/{[1-1/a(n-1)]-1}=a(n-1)……代换为a(n-1)
其中n≥2
可见，a(n+2)=a(n-1)，n≥2
即a(n+3)=a(n)，所以，该数列是以3为周期的周期数列。
（2）2008=3*669+1，即S(2008)包含669个周期和外加一项a(2008)=a(1)=1/2
可求得a(2)=1-1/a(1)=1-2=-1，a(3)=1-1/a(2)=1-(-1)=2
以下由于周期的原因，a(4)、a(5)、…不再说明。
显然，一个周期的和为a(1)+a(2)+a(3)=1/2-1+2=3/2
所以，S(2008)=669*3/2+1/2=2008/2=1004

Answer 2

an=(n+1)n/2=(n^2+n)/2
Sn=(1^2+1)/2+(2^2+2)/2+(3^2+3)/2+……+(n^2+n)/2
=(1/2)*[(1+2+3+4+……n)+(1^2+2^2+3^2+……+n^2)]
=(1/2)*[(n+1)n/2+n(n+1)(2n+1)/6]
=(n+1)n/4+n(n+1)(2n+1)/12