Question

若实数x、y满足（x+5）^2+（y-12）^2=196,则x^2+y^2的最小值

Answer 1

用代数方法解：设参数方程，
因为x^2+y^2，自然联想到三角函数的平方公式，
所以设含三角函数的参数方程。

由(x+5)^2+(y-12)^2=196=14^2，得：
[(x+5)/14]^2+[(y-12)/14]^2=1，
令(x+5)/14=cost， (y-12)/14=sint，则：
x=14cost-5 ， y=14sint+12，
所以x^2+y^2=(14cost-5)^2+(14sint+12)^2=-140cost+336sint+365
=28*13*(12/13*sint-5/13*cost)+365
=364sin(t-a)+365 。 (其中sina=5/13 ， cosa=12/13)
又因为 -1<=sin(t-a)<=1，
所以 1<=x^2+y^2<=729。
故x^2+y^2的最小值为：1。

用几何方法解：
自然联想到圆及点到点的距离公式。

(x+5)^2+(y-12)^2=196=14^2，
是圆心在P(-5，12)，半径r＝14的圆；
M(x，y)是园上的动点，√(x^2+y^2)是动点M到原点O(0，0)的距离，
结合图形，可知：（O在圆P内，三角形任一边大于另两边的差）
|OM|>=r-|OP|=14-√[(-5)^2+12^2]^}=14-13=1，(当且仅当O在PM上时，取等号）
所以 √(x^2+y^2)>=1，
(x^2+y^2)>=1，
故x^2+y^2的最小值为：1。

Answer 2

答案是1 用几何意义解题 (x+5)^2+(Y-12)^2=196意义是点（x，y）到（-5，12）距离为14所以该点（x,y)轨迹方程是圆 （-5，12）到（0，0）距离是13 x^2+y^2意义是（x,y)到（0，0）距离 所以14-13=1最小值是1

Answer 3

用参数方程法解
令x+5=14cosa
则(y-12)²=14²-14²cos²a=14²sin²a
y-12=14sina
x=14cosa-5,y=14sina+12
x²+y²=196cos²a-140cosa+25+196sin²a+336sina+144
=196(sin²a+cos²a)+336sina-140cosa+169
=196+336sina-140cosa+169
=336sina-140cosa+365
=√(336²+140²)sin(a-b)+365
=364sin(a-b)+365
其中tanb=140/336
sin(a-b)最小=-1
所以x²+y²最小=-364+365=1

Answer 4

（x+5）^2+（y-12）^2=196,是一个圆心在A（－5，12），半径R＝14的圆
则x^2+y^2表示圆上一点到原点的距离的平方。
OA＝根号（5^2+12^2)=13
所以，x^2+y^2的最小值＝（14－13）^2=1