Question

已知y=x²+2，求y'、y'|x=2

根据导数的定义，求下列函数的导函数和导数值。
已知y=x²+2，求y'、y'|x=2
（请详细说明下f（x+△x）=？和得到f（x+△x）=？的过程）

Answer 1

令f(x)=y=x²+2，则：
f(x+△x)=(x+△x)²+2=x²+2x*△x+△x²+2，
(以x+△x代替f(x)=x²+2中的x，再利用完全平方公式展开而得）
f(x+△x)-f(x)=(x+△x)²+2-(x²+2)=x²+2x*△x+△x²+2-x²-2= 2x*△x+△x²，
[f(x+△x)-f(x)]/△x=[2x*△x+△x²]/△x=2x+△x，
所以y'=f'(x)=lim(△x->0){[f(x+△x)-f(x)]/△x}=lim(△x->0) (2x+△x)=2x，
即y'=2x。
当x=2时，y‘=2*2=4，即： y'|x=2 =4。

Answer 2

f(x+△x) = x^2 + 2x△x + △x^2 +2
f(x+△x) - f(x) = 2x△x + △x^2
[f(x+△x) - f(x)]/△x = 2x + △x
再让△x趋于0，就得到y' = 2x
y'|x=2 = 4

Answer 3

f(x+△x)=(x+△x)^2+2;
y'=lim(△x->0) {[f(x+△x)-f(x)]/△x}=lim(△x->0) (2x+△x)=2x;
y'|x=2 =4