Question

一个三角形问题

某三角形的三条的中线长分别为3cm 4cm 5cm 则此三角形的周长为 面积为？

Answer 1

1、设△ABC，BC边上中线为AD=3cm，AC边上中线BE=4cm，AB边上中线CF=5cm,重心G，
延长GD至M，使DM=GD,连结CM，BM，四边形BMCG是平行四边形，
根据重心性质，GD=AD/3=1cm,则GM=2cm,CM=BG=8/3cm,CG=10/3cm,
根据勾股定理逆定理，△GMC是直角三角形，CD^2=DM^2+CM^2,,
CD=√（1+64/9)=√73/3cm,
BC=2CD=2√73/3cm,
同理延长GE至N，使EN=GE，连CN，AN，CE=√（2^2+16/9)= 2√13/3(cm),
AC=2CE=4√13/3(cm),
同理延长GF至P，使FP=FG，则<PBG=90度，BF=PG/2=5/3(cm),
AB=2BF=10/3(cm),
则三角形周长为√73/3+4√13/3+10/3=(10+4√13+√73)/3(cm),
2、S△GMC=GM*CM/2=2*8/3*（1/2）=8/3（cm^2),
S△CDG=4/3(cm^2),
S△ADC=3S△CDG=4cm^2,
S△ABC=2S△ADC=8cm^2.