Question

函数难题

在直角梯形ABCD中,∠C=90o,高CD=6cm(如图1).动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到C点停止.两点运动时的速度都是lcm/s.而当点P到达点A时,点Q正好到达点C.设P,Q同时从点B出发,经过的时间为t(s)时,△BPQ的面积为y(cm2)(如图2).分别以x,y为横,纵坐标建立直角坐标系,已知点P在AD边上从A到D运动时,y与t的函数图象是图3中的线段MN.
(1)分别求出梯形中BA,AD的长度;
(2)写出图3中M,N两点的坐标;
(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在答题卷的图

Answer 1

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

【解】（1）如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12
∵QB＝=6-t，∴S=(1/2)×12×(16-t)=96-t
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t。以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2，解得t=7/2；
②若BP=BQ。在Rt△PMB中，BP2=(16-t)2+122。由BP2＝BQ2得：
(16-2t)2+122=(16-t)2即3t2-32t+144=0。
由于Δ=-704<0 ∴无解， ∴PB≠BQ
③若PB=PQ。由PB2=PQ2，得t2+122=(16-2t)2+122
整理，得3t2-64t+256=0。解得t1=16/3,t2=16（不合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t=7/2秒 或 t=16/3秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得AP/BQ=AO/OB=1/2
∵AP=2t-21，BQ=16-t，∴2(2t-21)=16-t。
∴t=58/5。
过点Q作QE⊥AD，垂足为E，
∵PD=2t，ED=QC=t，∴PE=t。
在RT△PEQ中，tan∠QPE=QE/PE=12/t=30/29
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得
DC/BC=PE/EQ，即12/16=t/12。解得t=9
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD。

Answer 2

解：（1）设动点除法t秒后，点P到达点A且点Q正好到达点C时，BC=BA=t，
则S△BPQ=1/2 * t *6=30，∴t=10（秒）
则BA=10cm，AD=2cm
（2）可得坐标为M（10,30），N（12,30）
（3）当点P在BA上时，y=1/2 * t * sinB =3t²/10 （0≤t＜10）
当点P在DC上时，y=1/2 * 10 * （18-t）=-5t+90 (12＜t≤18)
其实没有图3，我不会做，估计是个坐标，看到了就贴过来，希望对您能有帮助