Question

直线y=x-4与曲线y=5/x(x<0)交于点A（-1，-5），并分别与x轴，y轴交与C、B

直线y=x-4与曲线y=5/x(x<0)交于点A（-1，-5），并分别与x轴，y轴交与C、B

（1）联结OA，求∠OAB正切值
（2）D在x正半轴，若以点D、C、B组成的三角形与三角形OAB相似，求D坐标

Answer 1

(1) 设OA的斜率为k1，则 k1=5
设AB的斜率为k2，则 k2=1
tan∠OAB = (k1-k2)/(1+k1*k2) = 2/3 (三角函数的两角和差公式)
(2) 点D、C、B组成的三角形与三角形OAB相似，∠OBA=∠DCB=135度，C点必对应B点。
当∠CBD=∠A时，
BD的斜率：K= (1- 2/3)/(1+ 2/3)=1/5
因为直线 y=x-4 与坐标轴交于 B(0,-4) C(4,0)
BD方程为 y+4=(1/5)x ，交x轴于D(20,0）
当∠CBD=∠AOB时，
因为 tan∠AOB = 1/k1 = 1/5
则 BD的斜率：K= (1- 1/5)/(1+ 1/5)=2/3
BD方程为 y+4=(2/3)x ，交x轴于D(6,0）
综上所述，D坐标可以是(20,0），也可以是(6,0）。