Question

已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图像中x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行

求函数单调区间

求函数的极大值与极小值的差

Answer 1

f'(x)=3x²+6ax+3b
由题意得.f'(2)=12+12a+3b=0
f'(1)=3+6a+3b=-3
解得,a=-1,b=0
所以f'(x)=3x²-6x=3x(x-2),f(x)=x³-3x²+c
令f'(x)=0,得.x1=0.x2=2
当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.f(x)单调递增
当x∈(0,2)时,f'(x)<0.f(x)单调递减
极大值f(0)=c.极小值f(2)=c-4.
所以极大值与极小值的差为4

Answer 2

函数的单调区间、极值、最值，一般都比较常规的是采用导数来求解！
已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，则说明了函数的导数在x=2处有零点（单根）因此求导：y‘=3x2+6ax+3b，则说明了它的根的判别式大于0，且x=2代入为0.
又其图像中x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行。切线中比较重点关注的是切点！由题知，切点的横坐标是1，代入导数式后应该得到的是切线的斜率，与直线平行所以斜率为-3，由此得到第二个等式。这样一联立就能够解出a、b的值。然后就可以求解了！下面我就不做了啊！注意本题中的c是不要求出值的！c的值不影响结果的！