Question

平面上给定10个点，任意三点不共线

平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10 点外），无两条直线互相平行。求
1这些直线所成的点的个数（除原10点外）
2 这些直线交成多少个三角形？

Answer 1

解法一 (1)由题设这10点所确定的直线是C(10,2)=45条.
这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点,由任意两条直线交一个点,共有C(45,2)个交点.而在原来10点上有9条直线共点于此.所以,在原来点上有10C(9,2)点被重复计数.
所以这些直线交成新的点是:C(45,2)-10C(9,2)=630.
(2)这些直线所交成的三角形个数可如下求:因为每个三角形对应着三个顶点,这三个点来自上述630个点或原来的10个点.所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合,即C(640,3)=43 486080(个).
解法二 (1)10点中任取4个点,四点连成6条直线,这6条直线交3个新的点.故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍,即这些直线新交成的点的个数是:3C(10,4)=630.
(2)同解法一.

追问

第二问中640个点中为什么没有三点在一条直线上的

追答

楼主你还真问住我了，我没考虑这个情况，抱歉！
任取两点成一直线a，则线外8点所成直线与a都相交。C(8,2)=28，加上原来两点，直线a共30点共线，所以每条直线舍去C(30,3)种情况，一共45条直线都是如此，共舍去45*C(30,3)种，还剩C(640,3)-45C(30,3)=43486080-182700=43303380种
你认为呢？

Answer 2

1这些直线所成的点的个数（除原10点外）
C(10,2)=45
2 这些直线交成多少个三角形？
C(10,3)=120

追问

答案中的这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点是什么意思

追答

每两点都可以连接成一条直线