Question

高中数学。。

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x^2+y^2+2x-4y+1=0截得弦长为4，则1/a+1/b的最小值为

Answer 1

解：圆x²+y²+2x-4y+1=0即（x+1）²+（y-2）²=2²,
所以圆心为（-1，2），半径为2，直径为4
因为直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得弦长为4
所以该弦必为圆的直径，即圆过圆心（-1，2）
因此，有-2a-2b+2=0,
a+b=1
因为a>0,b>0
所以1=a+b>=2√ab
√ab<=1/2,ab<=1/4
1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab>=4
所以1/a+1/b的最小值为4

Answer 2

x^2+y^2+2x-4y+1=0即（x+1）^2+（y-2）^2=4,
所以圆的半径为2，直径为4
而直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x^2+y^2+2x-4y+1=0截得弦长为4
则该弦必为圆的直径，即圆过圆心（-1，2）
因此，有-2a-2b+2=0,
a+b=1
因为a>0,b>0
所以1=a+b>=2√ab
√ab<=1/2,ab<=1/4
1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab>=4
所以1/a+1/b的最小值为4

Answer 3

2