Question

积分中值定理如何证明？烦劳大家回答

Answer 1

积分中值定理的证明方法：

设  （x）在  上连续，且最大值为  ，最小值为  ，最大值和最小值可相等。

由估值定理可得

同除以（b-a）从而

由连续函数的介值定理可知，必定，使得  ，即：

命题得证。 

积分中值定理

分为”积分第一中值定理“和”积分第二中值定理“，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

Answer 2

怎么一分都不给啊！
证明：因为 f(x) 是闭区间 [a,b]上的连续函数，
设 f(x) 的最大值及最小值分别为 M及 m ，
于是 m≤f(x)≤M
将上式同时在 [a,b]区间内积分，可得
m(b-a)≤∫下限a 上限 b f(x) dx≤M(b-a)
即 m≤∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)≤M
因为 m≤f(x)≤M 是连续函数，
由介值定理，必存在一点 ξ， 使得 ∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)= f(ξ)
即 ∫下限a 上限 b f(x) dx= f(ξ) (b-a)