Question

一元三次方程和一元四次方程如何解答，及其产生历史过程

Answer 1

一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了
解一元四次方程，转化为解一个三次方程和两个二次方程
很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问
题。（在初一和初二就会学习到有关内容）然而对一元三次方程的求
解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。
1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出
极其悲观的结论。他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆
为方问题一样，是根本不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为
16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述
的关于三次方程求解的故事。
故事中第一个出场的人物是一位大学教授，名字叫费罗(Scipione
del Ferro, 1465-1526)。他在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500
年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项三次方程的求解公式。在求解
三次方程的道路上，这是一个不小的成功。但出乎我们意料的是，他
并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功。相反，他对自己
的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！
在当时却有其原因。那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在
与他人的学术论争中不落败。因此，一个重要的新发现就成了一件论
争中处于不败之地的有力武器。最后直到其临终前，大约1510年左右，
他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生。
他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以
这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面
了。菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之
炫耀于世。只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的
时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 1499-1557)
出现在他的面前。

塔塔利亚
这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。1512年，在
一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽
侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。于是就得了“塔塔利亚”的绰号，
意大利语就是“口吃者”的意思。那时他还只有13岁。然而这并没有
妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高
的成就。1534年他宣称自己已得到了形如x3+mx2=n这类没有一次项的
三次方程的解的方法。不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是
我们故事中的两位人物开始碰面了。
二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，
约定谁解出的题目多就获胜。塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比
赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。
于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的
所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来。这样他以30:0的战
绩大获全胜。这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同
时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了。
塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解
法。到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题。或许是出于与
费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法
的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表。于是，风波骤起，
本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完
全不同的方向。

卡尔达诺
这位半路杀出来的“程咬金”叫卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501
-1576)，一位或许是数学史中最奇特的人物。他的本行是医生，并且
是一个颇受欢迎的医生。但其才能并没有局限于此，他在各种知识领
域里显示出自己的天赋。除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和
数学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成
果。他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳。在他去世后一
百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有许多缺
点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双。”在我们故事中卡尔达诺
所要扮演的正是一个将才能与不佳的人品集于一身的不太光彩角色。
在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，卡尔达诺听说了这一故事。
在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到
结果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方
程大师的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开
始都被塔塔利亚拒绝了。但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，
他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密。故事的转折就这
样开始了。
卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，
将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起。当然，如
果说句公道话的话，卡尔达诺的《大术》一书并非完全抄袭之作，其
中也包含着他自己独特的创造。然而，这种失信毕竟大大激怒了塔塔
利亚。1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的
失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了。一时间，充满火药味的
信件在双方之间飞来飞去。1548年8月10日在米兰的公开辩论使这场
冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣
了一位学生出马。这个学生的名字叫费拉里(Ludovico Ferrari, 1522-1565)，
是我们故事中出场的最后一个人物。
费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆。主人发现了他的出众才能，
接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学。其最大的贡
献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的
学生要报答老师的知育之恩了。在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以
三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指摘对方不能解四次方程。
于是一场数学论争逐渐演变成一场无聊的谩骂。最后客场作战的塔塔
利亚以失败而告终，后者宣称了自己胜利。由于卡尔达诺最早发表了
求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡
尔达诺公式”，塔塔利亚之名反而湮没无闻了。这对塔塔利亚来说似
乎是太不公平了。不过，这又怎么样呢？在历史上，这类争夺优先权
的论战又何止这一桩呢？随着时间的推移，多少年过去后，在当时对
于个人如此重要的事，对后人而言却不过是“古今多少事，都付笑谈
中”而已。
附录（异调编写）

塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消
去。所以我们只要考虑形如
x3=px+q
的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
3ab+p=0。这样上式就成为
a3-b3=q
两边各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。

费拉里发现的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数
a，我们有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以
解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x
的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。