Question

已知抛物线y²＝2px（p＞0）与双曲线x²/a²－y²/b²＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点

已知抛物线y²＝2px（p＞0）与双曲线x²/a²－y²/b²＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

Answer 1

抛物线y²＝2px（p＞0）①的焦点F(p/2,0),c=p/2.
∴a^2+b^2=p^2/4.b^2=p^2/4-a^2.②
AF⊥x轴,
∴AF:x=p/2,
代入①，y=土p,
把点A(p/2,土p)代入x²/a²－y²/b²＝1，得
p^2/(4a^2)-p^2/b^2=1,③
把②代入③，化简得4a^4-6a^2p^2+p^4/4=0,
a^2=(3土2√2）p^2/4,
a=(√2土1)p/2,
双曲线的离心率为c/a=√2+1（舍去√2-1）。

Answer 2

AF：点A到右准线的距离=e，点A到抛物线的准线x=－c的距离就是AF，所以(2c)/[c－(a²/c)]=e，解得e=1＋√2。

Answer 3

c/a=√2+1