Question

高中数学几何题求解。

一个半径为2的圆的圆心O在x轴正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆相切，过点Q（0,-3) 的直线I与圆交与A(x1,y1) B (x2,y2) 且 x1x2+y1y2=3 求三角形AOB面积。

题大概是抄对了， 主要是忘记了 x1x2+y1y2=3 这个条件怎么用了

Answer 1

解答过程：
根据的圆心O在x轴正半轴上
先设圆心（x，0）x＞0
根据半径为2的圆，直线3x-4y+4=0与圆相切得：
圆心到直线3x-4y+4=0的距离为2解出x
从而得到了圆心坐标（2,0）
所以圆的方程：（x-2）²+y²=4

再讨论若过Q（0,-3) 的直线I斜率不存在
则方程为x=0
与圆的交点坐标为原点
不满足题意 所以直线斜率存在 设斜率为k
则过Q（0,-3) 的直线I的方程为：
y+3=kx 即y=kx-3
带入圆的方程得到关于x 的一元二次方程
（k²+1）x²-（6k+4）x+9=0
则方程两根为x1，x2
根据韦达定理x1+x2=-b/a=（6k+4）/（k²+1）。。。。。。（1）
x1x2=c/a=9/（k²+1） 。。。。。。（2）
∴y1y2=（kx1-3）（kx2-3）=k²x1x2-3k（x1+x2）+9
把（1）（2）带入上式化简得（3）
再把（2）（3）
带入已知x1x2+y1y2=3
中求出k。
下面就简单了

Answer 2

解题步骤：1.设圆心坐标；2.由直线3x-4y+4=0与半径为2求出圆心坐标；3.设直线l的方程（过(0,-3)）；4,联立直线l与方程；根据韦达定理用x1x2+y1y2=3求直线l的斜率；5.再根据韦达定理求出x1x2，即求y1y2再求S

Answer 3

(x-a)^2+y^2=4,直线3x-4y+4=0与圆相切，圆心到直线的距离等于半径
d=|3a+4|/5=2 a>0 a=2
圆的方程x^2+y^2-4x=0
过点Q（0,-3) 的直线 y=kx-3 代入
(1+k^2)x^2-(4+6k)x+9=0
x1x2=9/(1+k^2)
x1+x2=(4+6k)/(1+k^2)
y1y2=k^2x1x2-3k(x1+x2)+9
x1x2+y1y2=(1+k^2) x1x2-3k(x1+x2)+9
=9-3k*(4+6k)/(1+k^2)+9=3
整理得
k^2+4k-5=0
k=1或k=-5
y=x-3或y=-5x-3
圆心到直线的距离等于1/根号2
弦长=2*根号14/2=根号14
S=1/2*根号14*1/根号2=根号7/2