Question

求适合下列条件的双曲线的标准方程

1.双曲线经过点(3,9√2),离心率e=√10/3
2.2焦点在y轴上，且过点（3，-4√2）、(9/4，5)

过程

Answer 1

1，当焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，
由e=c/a=√10/3，得： c=√10/3*a ，所以 c^2=a^2+b^2=10/9*a^2， a^2=9b^2；
将点(3，9√2)代入双曲线的标准方程，得： 9/a^2-162/b^2=1.........(1)，
将a^2=9b^2代入(1)，得：1/b^2-162/b^2=1 ， b^2=-161，方程无解；
当焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，
由e=c/a=√10/3，得： c=√10/3*a，所以 c^2=a^2+b^2=10/9*a^2， a^2=9b^2；
将点(3，9√2)代入双曲线的标准方程，得：162/a^2-9/b^2=1.........(2)，
将a^2=9b^2代入(2)，得：18/b^2-9/b^2=1 ， b^2=9，
所以a^2=9b^2=81，
综上可知：双曲线的标准方程为：y^2/81-x^2/9=1。
故所求双曲线的标准方程为：y^2/81-x^2/9=1。
2，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，
将点(3，-4√2)，(9/4，5)代入双曲线的标准方程，得：
32/a^2-9/b^2=1，
25/a^2-81/16b^2=1 ，
解方程组，得： a^2=16，b^2=9。
故所求双曲线的标准方程为：y^2/16-x^2/9=1。