Question

设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且acosC+1/2c=b 1求角A的大小 2若a=1，求三角形的周长l的取...

设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且acosC+1/2c=b
1求角A的大小
2若a=1，求三角形的周长l的取值范围

Answer 1

acosC＋1/2c=b，则2sinAcosC＋sinC=2sinB=2sin(A＋C)=2sinAcosC＋2cosAsinC，所以sinC=2cosAsinC，得cosA=1/2，A=60°。a/sinA=2R，周长=a＋2RsinB＋2RsinC=1＋2RsinB＋2Rsin(120°－B)。展开即可

Answer 2

解:因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,且sinB=sin(A+C)

所以acosC+1/2c=b可化为

sinAcosC+1/2sinC=sin(A+C)

sinAcosC+1/2sinC=sinAcosC+cosAsinC

所以cosA=1/2

A=π/3

B+C=2π/3, 0<B<2π/3

(2)cosB+cosC=cosB+cos(2π/3-B)

=cosB+[-1/2cosB+√3/2sinB)

=√3/2sinB+1/2cosB

=sin(B+π/6)

所以1/2<sin(B+π/6)≤1

即(2)的取值范围为(1/2, 1]

Answer 3

由定义cos∠C=a／b，所以原式化为a²／b+1/2c=b即bc=2a²-2b²由余弦定理bc=（b²+c²-a²）／（2cosA）,代进得cosA=0，A=90°
直角三角形所以b²+c²=1①L=1+b+c，b+c=L-1②
②²≤①²得L≤3因为b+c＞a所以L＞2

Answer 4

(1) 作AC边上的高BH.则CH=acosC, AH=b-AH=1/2c.
在直角三角形ABH中，AB为斜边，AH=1/2AB,故∠A=60°.
(2) 当∠B（或∠C）接近0°时，ABC的周长L2a=2;
当∠B（或∠C）=60°时，ABC的周长L=3a=3.
所以：2＜L≤3.

Answer 5

哇，好深奥啊